Mi pregunta es corta y concisa. Aquí va
En mi libro la definición de conjunto se da como una colección bien definida de cosas y en matemáticas son colecciones bien definidas de objetos matemáticos. Entonces, ¿por qué $\emptyset$ que no tiene nada se considera incluso como un conjunto. ¿Es una mera convención matemática o es que tiene un significado especial?
Aunque es bastante general, quiero saber la razón que hay detrás. Gracias por su ayuda .
La existencia del conjunto vacío es una de las Axiomas de Zermelo-Frankel de la teoría de conjuntos .
Se puede discutir si el concepto de "conjunto vacío" viola o no la propia intuición. Puedo dar un argumento intuitivo para decir que no es una violación, en la línea siguiente: "Piensa en un conjunto como el contenido de una bolsa. Que la bolsa no tenga contenido no significa que no sea una bolsa".
Pero ese no es el verdadero punto, porque incluso si el "conjunto vacío" hace violar la intuición, todavía hay una buena razón para incluirla en nuestro lenguaje matemático (a menudo sucede que cuando se formaliza un concepto matemático, algunos de los axiomas/reglas/conceptos que se necesitan para que la formalización funcione no son tan intuitivos como uno quisiera; piense en la ley de la lógica que dice $P \implies Q$ es verdadera siempre que la premisa $P$ es falsa y la conclusión $Q$ es verdadero).
¿Cuál es la razón? Entre otras posibles razones, se puede decir que, al igual que la teoría de la adición es más sencilla cuando se introduce el cero, la teoría de los conjuntos es más sencilla cuando se introduce el conjunto vacío. Uno quiere ser capaz de definir la operación binaria de intersección $A \cap B$ para todo pares de conjuntos $A$ y $B$ . La definición es: $$A \cap B = \{x \bigm| \text{$ x \N en A $ and $ x \N en B $}\} $$ Sin embargo, ¿qué pasa si no existe ningún $x$ tal que $x \in A$ y $x \in B$ ? En ese caso, el único candidato para $A \cap B$ es el conjunto vacío, por lo que si el conjunto vacío no existe entonces $A \cap B$ no siempre se define.
@Shaun: Por supuesto. Y es posible $x-y$ podría dejarse sin definir cuando $x,y$ son enteros positivos con $x<y$ La aritmética funcionó bastante bien durante algunos siglos sin eso. Sin embargo, es extremadamente útil introducir el cero y los enteros negativos en la teoría de la aritmética, y la aritmética mejoró mucho, mucho, una vez que se introdujeron.
Las otras respuestas tienden a tratar esto desde la perspectiva de ZFC, una forma específica de formalizar las ideas de la teoría de conjuntos; a continuación doy un enfoque más informal, que tiene la ventaja de aplicarse a teorías de conjuntos distintas de ZFC.
son colecciones bien definidas de objetos matemáticos
El conjunto vacío es una colección bien definida de objetos matemáticos - ciertamente está bien definida, ¡y cada cosa en el conjunto vacío es un objeto matemático! (Cada cosa en el conjunto vacío es también un unicornio púrpura, pero eso está bien - no hay ninguna regla que diga que "un conjunto tiene que tener algo que no es un unicornio púrpura").
En última instancia, esto se reduce a la pregunta: "¿Qué es un colección ?" En última instancia, esto se reduce a relevancia : para cualquier objeto matemático, hay preguntas sobre él que simplemente no tienen sentido. Por ejemplo, ¿es $17$ azul? Informalmente, una afirmación como "Un conjunto es una colección" nos dice lo que un conjunto es diciéndonos lo que hace Las únicas preguntas significativas que se pueden hacer a los conjuntos son las que giran en torno a afiliación ("¿Es $x$ en $A$ ?" "¿Acaso $A$ tiene al menos tres elementos", etc.). Esta es también la motivación de la Axioma de Extensionalidad que afirma que dos conjuntos con los mismos elementos son iguales.
Ahora debe quedar claro que no hay ningún problema con que un conjunto esté vacío: eso sólo significa que cada vez que pregunto "¿Es $x$ en este conjunto?", la respuesta que recibo es "no".
Ahora bien, se necesita un poco de trabajo para que todo lo que he dicho arriba sea preciso, pero el intuitivo El significado de la misma debe ser claro, y espero que sea algo persuasivo. Personalmente, diría que este tipo de enfoque de "limitación del significado" es en realidad de importancia filosófica fundamental para las matemáticas, y hay un debate filosófico en torno a este punto, pero eso es ir muy lejos.
Si el conjunto vacío no existiera, no podríamos realizar la selección de subconjuntos sin tener que escribir mucho más. No podríamos decir que $A = \{x \in B: \varphi(x) \}$ existe (donde $\varphi$ es alguna propiedad), sin demostrar primero que efectivamente existe alguna $x \in B$ tal que $\varphi(x)$ .
En la teoría de conjuntos "habitual", la existencia de $\emptyset$ es asumido por un axioma específico .
Como alternativa, podemos suponer que existe al menos un conjunto $a$ Entonces, la forma correcta de demostrar que existe una "colección bien definida" [por medio de Axioma de separación ] puede aplicarse a $a$ demostrando que su subconjunto $\{ x \mid x \in a \text { and } x≠x \}$ existe.
Habiendo demostrado que existe un conjunto vacío, podemos aplicar Extensionalidad para demostrar que es único, y así podemos introducir un "nombre" para él, es decir, para el conjunto vacío: $\emptyset$ .
Para un ejemplo más "intuitivo", considere el conjunto $\mathbb N$ de natural números y considerar su subconjunto de todos y sólo aquellos números $n$ tal que $n < 0$ .
Es una "colección bien definida" que no tiene números (ni elementos) en su interior.
Así, hemos definido un subconjunto vacío "razonable" de $\mathbb N$ .
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Sí: pero, por ejemplo, en $\mathbb N$ el conjunto de todos y sólo los números naturales $n$ tal que $n < 0$ es una colección bien definida que no tiene ningún número dentro.
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Por la misma razón que el 0 se considera un número: permite demostrar teoremas sin tener que considerar todo tipo de casos especiales.
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Así, hemos definido un subconjunto "razonable" de $\mathbb N$ que no tiene elementos dentro, es decir, un subconjunto vacío de $\mathbb N$ .
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En la teoría de conjuntos "habitual", la existencia de $\emptyset$ es asumido por un axioma específico.
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Gracias. No sabía que su existencia se supone por un axioma . No lo he estudiado con bastante detalle, así que perdona si la pregunta es tonta.
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No creo que la pregunta sea tonta. A menudo es un buen ejercicio intentar comparar el significado intuitivo de un concepto con el uso matemático real de ese concepto.