Volumen entre el cilindro y el plano

Question

Problema: Hallar el volumen delimitado por $z = y^2, x =0, y =0, z =9-x$ .

Mi trabajo:

$z$ va de $y^2$ a $9-x$ así que estos son los límites de la integración.

Calcula los puntos de intersección de $9-x$ y $y^2$ . Cuando $y=0$ , $9-x=0$ y $x=9$ . Así que $x$ va de 0 a 9. Cuando $x=0$ , $y^2 = 9$ así que $y=3$ (toma el positivo). Así que $y$ va de 0 a 9.

A continuación, evalúe $$\begin{align} \int_{x=0}^{x=9} \int_{y=0}^{y=9} \int_{z=y^2}^{z=9-x} dz dy dz &= \int_{x=0}^{x=9} \int_{y=0}^{y=9} y^2 - 9 + x dy dx \\ &= \int_{x=0}^{x=9} 18+3x dx \\ &= \frac{567}{2} \end{align}$$

Mi libro de texto dice que la respuesta es $\frac{324}{5}$ . ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Sus límites de integración no tienen sentido. La región de integración está dada por el conjunto $$R = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid (y^2 \le z \le 9-x) \cap (0 \le x \le 9) \cap (0 \le y \le 3)\}.$$ La proyección de $R$ en el $xz$ -es simplemente el triángulo $x \ge 0$ , $z \ge 0$ , $x + z \le 9$ . Sobre este triángulo, la curva $y = \sqrt{z}$ es el límite, por lo que la integral es $$\int_{x=0}^9 \int_{z=0}^{9-x} \int_{y=0}^\sqrt{z} 1 \, dy \, dz \, dx = \frac{324}{5}.$$ También puede proyectar $R$ en el $yz$ -en el plano, en cuyo caso tendríamos $$\int_{y=0}^3 \int_{z=y^2}^9 \int_{x=0}^{9-z} 1 \, dx \, dz \, dy = \frac{324}{5}.$$ Proyectando en el $xy$ -es más complicado, pero se obtiene la integral $$\int_{y=0}^3 \int_{x=0}^{9-y^2} \int_{z=y^2}^{9-x} 1 \, dz \, dx \, dy = \frac{324}{5}.$$

Answer 2

Alternativamente, la configuración es:

$\displaystyle \int_{0}^3 \int_{0}^{9-y^2} \int_{y^2}^{9-x} 1dzdxdy = \dfrac{324}{5}$ (ya comprobado)