¿Existe un teorema de Kan-Thurston para las fibraciones?

Question

Dada una fibración $F \to X \to B$ con todos los espacios conectados por trayectorias. ¿Existe un grupo (discreto) $G$ con subgrupo normal $H$ tal que $$H^\ast(BG;\mathcal{A}) = H^\ast(X;\mathcal{A})$$ $$H^\ast(BH;\mathcal{A}) = H^\ast(F;\mathcal{A})$$ $$H^\ast(B(G/H);\mathcal{A}) = H^\ast(B;\mathcal{A})$$ para cada sistema de coeficientes locales $\mathcal{A}$ en $X$ ?

Answer 1

Creo que la respuesta positiva a esta pregunta se da en la demostración de la Proposición 1.5 de

• A.J. Berrick y B. Hartley: Radicales perfectos y homología de extensiones de grupos. Topology and its Applications 25 (1987), 165-173.

La idea es aplicar primero la construcción Kan-Thurston para sustituir $B$ por un espacio clasificador $BQ$ . A continuación, tire hacia atrás la fibración $X\to B$ a lo largo de $BQ\to B$ y aplicar de nuevo la construcción Kan-Thurston para sustituir el espacio total $X\times_BBQ$ por un espacio clasificador $BG$ . A continuación, considere el espacio de clasificación $BN$ para $N$ el núcleo de $G\to Q$ . El resultado es un mapa de la secuencia de fibras $BN\to BG\to BQ$ a la secuencia de fibras $F\to X\to B$ tal que todos los mapas (en base, espacio total, fibra) son acíclicos. Entonces la secuencia espectral de Hochschild-Serre para la extensión $BN\to BG\to BQ$ debe ser la secuencia espectral de Serre asociada a la secuencia de fibras original $F\to X\to B$ .