Cálculo de $\int_{\mathbb R^n} e^{it|\xi + \frac{x}{2t}|^2} d \xi$

Question

Dejemos que $t > 0$ y $x \in \mathbb R^n$ . Quiero derivar el siguiente valor integral $$ \int_{\mathbb R^n} \exp\left(it\left|\xi +\frac{x}{2t}\right|^2\right) d \xi $$ ¿Cómo puedo calcularlo?

Answer 1

Hacer que se cumpla la sustitución $\xi_i+x_i/2t\to \xi_i$ para llegar a

$$\begin{align} \int_{\mathbb{R}^n}e^{it|\xi+x/2t|^2}\,d\xi&=\int_{\mathbb{R}^n}e^{it|\xi|^2}\,d\xi\\\\ &=\prod_{i=1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{it\xi_i^2}\,d\xi_i\\\\ &=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{it\xi_i^2}\,d\xi_i\right)^n \end{align}$$

Ahora, termina recordando que el valor de la Integral de Fresnel es $\int_{-\infty}^\infty e^{it\xi_i^2}\,d\xi_i=\sqrt{\frac{\pi}{2t}}(1+i)$

Answer 2

Una traslación de la variable no afecta al valor de la integral, para ver esto puedes realizar la sustitución $z=\xi+\frac{x}{2t}$ y observe que nada cambia en la integral (el jacobiano de la sustitución es 1), por lo que

$$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{it|\xi+\frac{x}{2t}|^2}\mathrm{d}\xi=\int_{\mathbb{R}^n}e^{it|z|^2}\mathrm{d}z=\int_{\mathbb{R}^n}e^{it<z,z>}\mathrm{d}z=\prod_{k=1}^{n}\int_{\mathbb{R}}e^{itz_k^2} \mathrm{d}z_k$$

sustituto $itz_k^2$ con algunos $s^2$ para obtener la integral de una gaussiana