Números enteros sin cuadrados y función suelo, función de Möbius

Question

En la página 40, ejercicio 44 de Introducción a la teoría analítica y probabilística de los números por Tenenbaum:

44. Demuestre que cualquier número entero $n\ge1$ puede descomponerse de forma única como $n = qm^2$ , donde $q$ es libre de cuadrados. Denotemos por $Q(x)$ el número de enteros libres de cuadrados $q$ sin exceder $x$ . Establece la fórmula: $$ \lfloor x\rfloor=\sum_{m\leq\sqrt{x}}Q\left(\frac{x}{m^2}\right),\hspace{20pt} (1) $$ Sabemos que $$ Q(x)=\sum_{q\leq x}|\mu(q)|,\hspace{20pt} (2) $$ ¿Cómo podemos demostrar la fórmula anterior utilizando

Encontré heurísticamente que $$ Q(x)=\sum_{d\leq\sqrt{x}}\mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor\hspace{20pt} (3) $$

Mi pregunta es

1. ¿Cómo podemos demostrar (1), (3)?
2. ¿Cómo podemos demostrar (1) $\Leftrightarrow$ (3)?

Answer 1

Por cada $x$ dejar $S(x)$ sea el conjunto de enteros positivos libres de cuadrados que no superan $x$ . Todo entero positivo $n\leq x$ puede escribirse de forma única como $m^2q$ donde $m\leq\sqrt n\leq\sqrt x$ y $q$ es libre de cuadrados y no excede $x/m^2$ eso es: $$\{n:1\leq n\leq x\}=\bigcup_{m\leq\sqrt x}\left\{m^2q:q\in S\left(\frac x{m^2}\right)\right\}$$ En consecuencia: \begin{align} \lfloor x\rfloor &=|\{n:1\leq n\leq x\}|\\ &=\left|\bigcup_{m\leq\sqrt x}\left\{m^2q:q\in S\left(\frac x{m^2}\right)\right\}\right|\\ &=\sum_{m\leq\sqrt x}\left|\left\{m^2q:q\in S\left(\frac x{m^2}\right)\right\}\right|\\ &=\sum_{m\leq\sqrt x}\left|S\left(\frac x{m^2}\right)\right|\\ &=\sum_{m\leq\sqrt x}Q\left(\frac x{m^2}\right)\\ \end{align} lo que demuestra $(1)$ . Para demostrar $(1\implies 3)$ : \begin{align} \sum_{d\leq\sqrt n}\mu(d)\left\lfloor\frac x{d^2}\right\rfloor &=\sum_{d\leq\sqrt n}\mu(d)\sum_{m\leq\sqrt{x/d^2}}Q\left(\frac{x/d^2}{m^2}\right)\\ &=\sum_{d\leq\sqrt n}\sum_{md\leq\sqrt x}\mu(d)Q\left(\frac{x}{(md)^2}\right)\\ &=\sum_{n\leq\sqrt x}\sum_{d|n}\mu(d)Q\left(\frac{x}{n^2}\right)\\ &=\sum_{n\leq\sqrt x}Q\left(\frac{x}{n^2}\right)\sum_{d|n}\mu(d)\\ &=Q(x) \end{align}