Encontrar la función analítica

Question

Encontrar toda la función analítica $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ tal que $|f^`(z)|$ constante en curvas de la forma $Ref$ constante.

Esta es una de las preguntas del pasado comp. En serio, no sé por dónde empezar. Ni siquiera entiendo lo que la pregunta está pidiendo aquí. Me cuesta entender qué tipo de curva tiene la forma $Ref$ constante (ejemplo por favor). Cuando necesito encontrar una función entera en otro problema, suelo pensar en Liouville como rescate pero esta vez no creo que Louiville me salve. Cualquier solución rigurosa será muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, a menos que $f$ es constante, existe algún $z_0$ con $f'(z_0) \ne 0$ . Dejemos que $w_0 = f(z_0)$ y que $g$ sea la inversa local de $f$ con $g(w_0) = z_0$ en algún disco pequeño. Entonces $|g'(w)|$ es constante (y no nula) en las líneas horizontales, por lo que existe una rama analítica de $h(w) = \log g'(w)$ que entonces tiene parte real constante en las líneas horizontales. Es un ejercicio estándar usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann que esto implica que $h$ es constante, lo que a su vez implica que tanto $g'$ y $f'$ son localmente constantes. Por el principio de identidad esto implica que $f'$ es constante en el plano, por lo que $f(z) = az+b$ con algunas constantes $a$ y $b$ >