Qué ejemplos (no triviales) de espacios vectoriales son :
- ¿Normalizado pero no prehilbertiano?
- ¿Métrico pero no normalizado?
En el aula hemos visto ejemplos bastante fáciles.
Gracias de antemano.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para el segundo punto, basta con pensar en una métrica no invariante bajo traslación. Para el primero, es necesario que su norma no satisfaga la ley del paralelogramo (si no, se puede construir un producto interior que induzca la misma norma). Para el primer punto $\ell^p$ norma son ejemplos famosos! para el segundo :
Si ponemos sobre la línea real la distancia: $ d (x, y)= |\log (\frac{x}{y} )|$ ;
o sobre $\mathbb{R}^2 $ podemos poner $ d(x, y)= \|x\|+\|y\|$ con $d(x,x)=0$
Tenemos métricas de variantes de traducción
YequalsX
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Permítanme trabajar en el contexto de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos (sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ ); espacios convexos para abreviar.
Los espacios convexos metrizables se caracterizan por ser primero contables, o por tener su topología generada por un conjunto contable de seminormas.
Los espacios convexos normables se caracterizan por tener una vecindad $U$ de el origen tal que $\frac{1}{n} U$ forma una base n.h. del origen (para $n = 1, 2, 3, \ldots $ ).
Por lo tanto, se puede intentar encontrar espacios convexos metrizables que no sean normables buscando buscando espacios cuya topología esté generada por un número contable de seminormas que no son comparables entre sí.
Por ejemplo, dejemos que $V$ denotan el espacio de funciones continuas sobre $\mathbb R^m$ (para algunos fijos $m$ ). Sea $B_n$ denotan la bola de radio $n$ en $\mathbb R^m$ , y que $q_n$ denotan la semi-norma en $V$ definido por $q_n(f) := $ sup de $f$ en $B_n$ .
Si dotamos $V$ con la topología inducida por las seminormas $q_n$ , entonces se convierte en un espacio convexo medible que no es normable.
jmans
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El $\ell_p$ espacio (secuencias de números complejos que son absolutamente $p$ -sumable en potencia) son todos espacios normados pero sólo (pre)Hilbert si $p=2$ .
Cualquier conjunto admite un trillón de posibles estructuras métricas (por ejemplo, la métrica discreta) y sólo un puñado de ellas (si el conjunto es un espacio vectorial) serán inducidas por una norma.
