Cobertura de un espacio vectorial sobre un campo finito

Question

Dejemos que $k$ sea un campo finito y $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $k$ .

Dejemos que $d$ sea la dimensión de $V$ y $q$ el cardenal de $k$ .

Construir $q+1$ hiperplanos $V_1,\ldots,V_{q+1}$ tal que $V=\bigcup_{i=1}^{q+1}V_i$

Probé la inducción en $d$ en vano.

Se ha debatido sobre este tema ( aquí ), pero no responde a mi pregunta.

Answer 1

Obsérvese que basta con hacer esto para un espacio vectorial de dimensión $2$ . A continuación, puede simplemente "ampliar" cada línea a un hiperplano en un espacio mayor.

Para la dimensión dos, compruebe que $q+1$ es de hecho igual al número de hiperplanos, es decir, de líneas en este caso.

Answer 2

En este caso es útil considerar el dual. En el espacio dual, su colección de hiperplanos que cubren cada vector corresponde a un conjunto de $(q+1)$ $1$ -subespacios dimensionales tales que cada hiperplano contiene al menos uno de estos $1$ -espacios. Si fijamos un $2$ -subespacio dimensional $\pi$ entonces $\pi$ contiene $q+1$ $1$ -y cada hiperplano cumple con $\pi$ en un $1$ -subespacio dimensional.

Esto demuestra que al tomar todas las $1$ -en un plano común, tenemos la propiedad deseada. Entonces podemos sustituir cada uno de estos $1$ -con su dual (a través de cualquier mapeo, el envío al complemento ortogonal bajo el producto punto funcionará), y obtenemos un conjunto de $q+1$ hiperplanos que cubren todos los puntos de $V$ .