¿El orden de $a$ en $\left(\mathbb{Z}/ \Phi_n(a) \mathbb{Z} \right )^{\times}$ igual $n$ ?

Question

Aquí, $\Phi_n(a)$ es el enésimo polinomio ciclotómico evaluado en a.

Es obvio que el orden multiplicativo de $a$ modulo $\Phi_n(a)$ divide $n$ porque $a^n \equiv (a^n-1)+1 \equiv P(a)\cdot \Phi_n(a)+1 \equiv 1 \pmod{\Phi_n(a)}$ para algún polinomio $P(x)$ . Pero los datos numéricos sugieren que no sólo el orden de $a$ dividir $n$ , pero en realidad el orden de $a$ siempre es igual a $n$ .

No tengo ni idea de cómo enfocar esto, y se agradece cualquier pista o solución.

Answer 1

Creo que aparte de los casos (1) y (2)

(1) $n=6$ , $a=2$ , donde $ord_{\Phi_6(2)}(2)=2$

(2) $n=2$ , $a=2^s-1$ , $s\ge2$ , donde $ord_{\Phi_2(2^s-1)}(2^s-1)=1$

es cierto que $ord_{\Phi_n(a)}(a)=n$ .

Este es un corolario del teorema de Zsygmondi: cuando no se cumplen ni (1) ni (2), existe algún primo $q$ para que $n=ord_q(a)$ .

$q$ debe ser un divisor de $\Phi_n(a)$ porque $q$ divide $a^n-1$ y ningún otro $a^m-1$ donde $m\lt n$ .

Desde $\Phi_n(a)$ divide $a^{ord_{\Phi_n(a)}(a)}-1$ entonces $q$ también divide $a^{ord_{\Phi_n(a)}(a)}-1$ entonces $ord_{\Phi_n(a)}(a)$ debe ser un múltiplo de $ord_q(a)$ ,

es decir $ord_{\Phi_n(a)}(a)$ es múltiplo de $n$ pero como usted ha demostrado que es obvio que $ord_{\Phi_n(a)}(a)$ divide $n$ entonces tenemos $ord_{\Phi_n(a)}(a)=n$ .