¿Cuáles son las probabilidades de que los demócratas puedan tomar el Senado en 2018?

Question

En 2018 En la actualidad, 25 senadores demócratas o con caucus demócrata se presentan a la reelección, junto con 9 senadores republicanos.

Para ganar el control del Senado, los demócratas tienen que ganar al menos 5 escaños. Es decir, que todos los demócratas en activo mantengan sus escaños, mientras que al menos 5 republicanos pierdan, o que exactamente 24 demócratas ganen y al menos 6 republicanos pierdan, y así sucesivamente.

En aras del argumento, supongamos que la probabilidad de que un senador gane la reelección es 0.80 .

Todas las formas que se me ocurren para resolver esto son absurdamente complicadas. ¿Hay alguna forma razonablemente sencilla de resolverlo?

Answer 1

La probabilidad de que exactamente $k$ de los escaños actualmente demócratas se mantienen demócratas y exactamente $m$ de los escaños actualmente republicanos pasan a ser demócratas es ${25 \choose k} {9 \choose m} (4/5)^{k + 9-m} (1/5)^{25-k+m}$ , $0 \le k \le 25$ , $0 \le m \le 9$ . Se quiere sumar esos términos de forma que $k + m \ge 30$ . Tenga en cuenta que para tal término, $9 \ge m \ge 30 - k$ así que $k \ge 30 - 9 = 21$ .

$$ \sum_{k=21}^{25} \sum_{m = 30-k}^9 {25 \choose k} {9 \choose m} (4/5)^{k + 9-m} (1/5)^{25-k+m} \approx 0.0001712788723 $$