Así que el producto taza no está bien definido sobre grupos de co-cadenas, pero todos los libros afirman que está bien definido sobre grupos de co-homología. Lo único que no tengo claro es la invariabilidad bajo el ordenamiento/reordenamiento de los símiles cuando pasamos al nivel de co-homología. Todos los libros parecen pasar por alto esto, y después de hacer algunos ejemplos, parece que no puedo averiguar cómo conseguir que esto funcione bien. ¿Alguien me puede ayudar?
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Judah Himango
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En sentido estricto, el producto taza no es conmutativo, aunque sí lo es hasta el signo en el nivel de la cohomología.
Hay una forma abstracta de ver esto: a saber, podemos utilizar el método de los modelos acíclicos. Consideremos los siguientes dos funtores de la categoría de espacios a la categoría de complejos de cadenas. El primero es $X \mapsto C_*(X \times X)$ el segundo es $X \mapsto C_*(X)\otimes C_*(X)$ . Dado que se trata de funtores libres y acíclicos sobre el subconjunto de símiles estándar (esto significa que a) ambos pueden representarse como una suma de grupos abelianos libres sobre conjuntos que son funtores representables en $X$ representados por símiles y b) evaluados en un símil, dan lugar a complejos acíclicos), existe una equivalencia en cadena natural entre dos $$ C_*(X \times X) \simeq C_*(X) \otimes C_*(X)$$ que a su vez es único hasta la homotopía de cadena. Este es el teorema del modelo acíclico (como en Spanier, por ejemplo).
Ahora la categoría de complejos de cadenas sobre un anillo conmutativo no es sólo una categoría abeliana; es una categoría monoidal. Podemos tensorizar dos complejos de cadena y obtener un nuevo complejo de cadena. Además, es una categoría simétrico categoría monoidal porque hay un isomorfismo $A_* \otimes B_* \simeq B_* \otimes A_*$ para los complejos de cadenas $A, B$ .
Por lo tanto, si se nos da una equivalencia de cadena (fija a lo largo de lo que sigue) $C_*(X \times X) \simeq C_*(X) \otimes C_*(X)$ obtenemos otro al componerlo con el mapa de intercambio en este último. Ambos son naturales en $X$ y así, por el singularidad (hasta la homotopía en cadena) en el teorema del modelo acíclico, encontramos que los dos mapas $$C_*(X \times X) \rightrightarrows C_*(X) \otimes C_*(X)$$ son naturalmente homotópicos en cadena.
Pero el dual de esto significa que los dos mapas $$C^*(X) \otimes C^*(X) \rightrightarrows C^*(X \times X)$$ son naturalmente homotópicos en cadena. A nivel de cohomología, los dos mapas $H^*(X) \otimes H^*(X) \rightrightarrows H^*(X \times X)$$ son por tanto iguales.
Ahora el mapa $C_*(X \times X) \to C_*(X) \otimes C_*(X)$ es precisamente el producto cruzado de homología, y su dual es el producto cruzado de cohomología. Así que hemos visto que si consideramos el mapa de producto cruzado $H^*(X) \otimes H^*(X) \to H^*(X \times X)$ es invariable al cambiar los dos factores.
Ahora podrías objetar que he dicho que el producto cruzado (y, por tanto, el producto taza, que se obtiene del producto cruzado tirando hacia atrás por la diagonal) es conmutativo sesgado, no conmutativo. Esto viene de una característica de cómo se define realmente el producto tensorial de complejos: como resultado, cuando se define el morfismo de intercambio, hay que introducir un signo (para que sea un mapa en cadena).
Meena
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Bien, de acuerdo. Pregunté sobre si el producto de la copa está bien definido, aquí es por lo que estoy confundido.
Usted escribió:
En sentido estricto, el producto taza no es conmutativo, aunque sí lo es hasta el signo en el nivel de la cohomología.
Hay una forma abstracta de ver esto...
El producto de la copa al ser conmutativo debe tener nada que se definan bien.
La conmutatividad del producto debería hablar de si $a \smile b = b \smile a$ . Esto parece irrelevante para una conversación sobre el producto de la copa bien definido.
Así que, de nuevo, lo que quiero saber es por qué está bien definido el producto de la copa. Lo que pregunto es: ¿es el caso que $(\alpha \smile \beta)(a)$ es lo mismo que $(\alpha \smile \beta)(b)$ siempre que $a$ equivale a $b$ . Donde la equivalencia es como las clases de co-homología.
Ahora, en tu segundo comentario, has dicho que no es el caso de que el producto copa esté bien definido, y de nuevo no está claro si te refieres a sobre grupos de co-cadenas o grupos de co-homología. I
n cualquier caso, lo que quiero saber es ¿Cuándo está bien definido el producto de la copa? ¿Su definición de bien definido difiere de la clásica? En este momento no quiero entender
