$L^p$ funciones para $p$ en $[a,b]$

Question

He visto un teorema que asegura que el conjunto $A=\lbrace p\in [1,\infty]: u\in L^p(0,\infty)\rbrace$ es un intervalo. Es fácil encontrar una función $u$ para lo cual $A$ es el conjunto vacío o $[1,\infty]$ o $\lbrace \infty \rbrace$ . Además, la función $$\frac{1}{x^{1/a}[\log^2(x)+1]}$$ es $L^p(0,\infty)$ si $a=p$ ( ¿Es posible que una función esté en $L^p$ para una sola $p$ ? ). He podido encontrar una función $u$ s.t. $A$ es de la forma $(a,\infty ]$ y $[1,a)$ .

Me pregunto si existe una función $u$ para el que el intervalo $A$ es de la forma $[a,b]$ o $(a,b)$ o $(a,b]$ o $[a,b)$ para $1 \leq a<b \leq \infty$ . Esto puede ser difícil, no espero una respuesta completa pero cualquier idea o pista sería apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

La función $f(x) = x^{-1/b} \chi_{(0,1)}(x)$ pertenece a $L^p(0,\infty)$ si y sólo si $p < b$ .

La función $g(x) = x^{-1/a} \chi_{(1,\infty)}(x)$ pertenece a $L^p(0,\infty)$ si y sólo si $p > a$ .

La función $f+g$ pertenece a $L^p(0,\infty)$ si y sólo si $p \in (a,b)$ .

El caso de los intervalos cerrados o semicerrados es un poco más difícil pero similar.