Sobre la prueba $\eta \sigma^{\mu\nu} \chi=-\chi \sigma^{\mu\nu} \eta$ (problema con los índices de espinores)

Question

Estoy tratando de demostrar que :

$$\eta \sigma^{\mu\nu} \chi=-\chi \sigma^{\mu\nu} \eta$$

o

$$\eta^\alpha (\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta} \chi_\beta=-\chi^\alpha (\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta} \eta_\beta$$ .

Aquí, $\mu,\ \nu$ son índices del espaciotiempo y $\alpha,\ \beta$ son índices de espinores que se contraen con $\epsilon_{\alpha\beta}$ y $\epsilon^{\alpha\beta}$ .
Estoy atascado en un punto concreto. Empiezo de la siguiente manera:

$$ \begin{align} \eta^\alpha (\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta} \chi_\beta & =- \chi_\beta(\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta} \eta^\alpha \\ & =-(\epsilon_{\beta\gamma}\chi^\gamma)(\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta}(\epsilon^{\alpha\delta}\eta_\delta) \\ & =-\chi^\gamma\left[\epsilon_{\beta\gamma}(\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta}\epsilon^{\alpha\delta}\right]\eta_\delta \end{align} $$

Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis debe ser igual a $(\sigma^{\mu\nu})_\gamma^{\ \ \ \delta}$ para completar la prueba.

Ahora bien, este es el punto en el que no sé qué hacer: para la cantidad entre paréntesis, contacto los índices con $\epsilon$ de la siguiente manera:

$$\epsilon_{\beta\gamma}(\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta}\epsilon^{\alpha\delta}=\epsilon_{\gamma\beta}\epsilon^{\delta\alpha}(\sigma^{\mu\nu})_\alpha^{\ \ \beta}=(\sigma^{\mu\nu})^{\delta}_{\ \ \gamma}\ \text{or}\ (\sigma^{\mu\nu})_\gamma^{\ \ \ \delta}$$

Así que supongo que no conozco la convención lo suficientemente bien como para saber cuál es la correcta (esta última por supuesto, pero no sé por qué). Se agradece cualquier ayuda.

EDITAR: Esto también está relacionado con la pregunta 1 de: Identidades de las matrices de Pauli en el formalismo de espinores de dos componentes

Answer 1

Observamos que $\psi^\alpha \chi_\alpha = - \psi_\alpha \chi^\alpha$ . Así, \begin{align} \eta \sigma_{\mu\nu} \chi &= \eta^\alpha ( \sigma_{\mu\nu})_\alpha{}^\beta \chi_\beta \\ &= - \eta^\alpha ( \sigma_{\mu\nu})_{\alpha\beta} \chi^\beta \\ &= - \eta^\alpha ( \sigma_{\mu\nu})_{\beta\alpha} \chi^\beta \qquad \qquad (\sigma_{\mu\nu})_{\alpha\beta} = (\sigma_{\mu\nu})_{\beta\alpha} \\ &= \chi^\beta ( \sigma_{\mu\nu})_{\beta\alpha} \eta^\alpha \qquad \qquad ~~\eta^\alpha \chi^\beta = -\chi^\beta \eta^\alpha \\ &= - \chi^\beta ( \sigma_{\mu\nu})_\beta{}^{\alpha} \eta_\alpha \\ &= - \chi \sigma_{\mu\nu} \eta \end{align}

Answer 2

En la teoría de grupos, los índices superior e inferior son una especie de pista falsa. Se utilizan para distinguir entre el $N$ y $\bar{N}$ representantes de $SU(N)$ . Son representaciones realmente independientes, excepto en el caso de la fundamental, pero no se confunden. Si alguna vez te confundes, simplemente utiliza otro tipo de índice para indicar la otra representación. Por ejemplo, podemos escribir

$$\eta \sigma^{\mu\nu} \chi = \eta_{\bar{a}}\sigma^{\mu\nu}_{\bar{a}b}\chi_b =-\chi_b\sigma^{\mu\nu}_{\bar{a}b}\eta_{\bar{a}}$$

y no tenemos que preocuparnos de subir o bajar nada de eso. Ahora sólo observamos que $\sigma^{\mu\nu}$ es simétrica en sus índices de grupo. Por lo tanto,

$$ -\chi_b\sigma^{\mu\nu}_{\bar{a}b}\eta_{\bar{a}} = -\chi_b\sigma^{\mu\nu}_{b\bar{a}}\eta_{\bar{a}}= - \chi\sigma^{\mu\nu}\eta.$$