El enfoque anterior es común en las aplicaciones, debido a su conveniencia, pero raro en las matemáticas, debido a su dejadez. En concreto, $f$ está mal definida: ¿Es una función $\mathbb{RxR} \to \mathbb{R}$ ? Si es así, ¿qué significa restringir el segundo parámetro en función del primero?
Lo que realmente queremos es: Dado $f(x,y), a(x), b(x)$ , defina $g(x): \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(a(x), b(x))$ .
Esta notación adecuada destaca que, en la descuidada notación original, ${\partial f}/{\partial q}$ podía tener dos significados (¡!), y había que averiguarlo basándose en el contexto: o bien la pendiente de $f$ si sólo cambiara el primer parámetro y pudiéramos mantener constante el segundo; o la pendiente de $f$ si el primer parámetro cambia y el segundo cambia en consecuencia. Nuestra nueva notación lo soluciona, ya que $f$ es una función de aridad 2, y g es una función de aridad 1, y ambas pueden tomar cualquier argumento en su dominio (¡como debe hacer una función!).
Siguiendo con la actualización notacional, utilizamos el $D$ de tal manera que si $f: \mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ , $Df$ también es una función de $\mathbb{R^m} \to \mathbb{R^n}$ . (En esta notación, las derivadas parciales son simplemente la selección de una sola entrada de la derivada, y el gradiente, el jacobiano y la derivada ordinaria son todos la misma cosa, con el nombre cambiado si $n$ o $m$ igual 1.) Así que podemos escribir una única función $c: x \mapsto (a(x), b(x))$ y utilizar la regla de la cadena multivariable $Dg(x) = D(f \circ c)(x) = Df(c(x)) \cdot Dc(x)$ .
Multiplicar el producto punto y convertirlo de nuevo en el original ( descuidado aplicada), y se obtiene $df/dx = {\partial f}/{\partial u} \cdot {\partial u}/{\partial x} + {\partial f}/{\partial v} \cdot {\partial v}/{\partial x}$ . (Nótese que, también aquí, en el lado izquierdo estamos tratando $f$ como función de una sola variable $x$ en el lado derecho como función de dos variables $u$ y $v$ -- (¡hay que saber por el contexto a qué se refiere!)
En definitiva, el problema surge porque, a diferencia de la notación de Spivak, que sólo define la derivada respecto a los parámetros de la función, la notación de Leibniz permite tomar la derivada respecto a cualquier cosa y, si hay varios cualquier cosa en la misma expresión, no se dice cómo esos cualquier cosa están relacionados entre sí. En el lado izquierdo, $dx$ significa "asumir $x$ cambios y causas $u$ y $v$ cambiar", mientras que en el lado derecho, ${\partial u}$ significa "asumir $u$ cambios con $v$ no cambian". El problema sería aún más flagrante si la pregunta se hubiera planteado como "¿Cuál es la derivada total de $f(x, u(x))$ en relación con $x$ ?", ya que la respuesta es entonces $df/dx = {\partial f}/{\partial x} + {\partial f}/{\partial u} \cdot du/dx$ (!!!).
