Supongamos $(a_n)$ es una secuencia tal que $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$. Mostrar que $\lim{a_n}=1$

Question

Supongamos $(a_n)$ es una secuencia tal que $$a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!} \, .$$ Show that $\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}=1$. My attempt is to formulate an inequality and then use the Squeeze Theorem. Since we know that $$\frac{1}{n!}+\frac{2!}{n!}+\cdots+1>1$$ as $\frac{i!}{n!}>0$ for all $1 \leq i \leq n-1$, we have $a_n \geq1$. Entonces me tengo que quedar en la formulación de otro lado. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Cada una de las $1!,2!,...,(n-2)!$ es en la mayoría de las $(n-2)!$. Desde allí se $n-2$ tales términos que se han $$\frac{1! + 2! + \cdots + n!}{n!} \leq \frac{(n-2)(n-2)! + (n-1)! + n!}{n!}$$ $$= \frac{n-2}{n(n-1)} + \frac{1}{n} + 1$$ El límite de esta como $n \rightarrow \infty$$1$, que es lo que necesita.

Answer 2

Vamos a probar que: $$1!+2!+\cdots+n!\le 2\cdot n!$$ Si $n=1$, es trivial. Y si $1!+2!+\cdots+n!\le 2\cdot n!$ se mantiene, entonces $$1!+2!+\cdots+n!+(n+1)! \le 2\cdot n! +(n+1)! =(n+3)n! \le 2(n+1) n!$$ para todos los $n\ge 1$.

Así, obtenemos $$\frac{1!+2+\cdots+(n-1)!+n!}{n!}\le \frac{2(n-1)!+n!}{n!}=1+\frac{2}{n}.$$

Answer 3

Como Jonas Meyer sugirió, el Stolz–Cesàro teorema podría ser otra opción. $$\lim_{n\to\infty}\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)!-n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.$$

Hecho.

Answer 4

Usted tiene

$$\begin{align*} a_n&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k)!}{n!}\\ &=1+\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(n-k)!}{(n-1)!}\\ &=1+\frac1n\sum_{k=0}^{n-2}\frac{(n-1-k)!}{(n-1)!}\\ &=1+\frac1na_{n-1}\;. \end{align*}$$

Si usted puede encontrar un $M$ tal que $a_n\le M$ todos los $n$, entonces tendrás $a_n\le 1+\frac{M}n$ todos los $n$, que aprieta hacia abajo muy bien.

Ahora

$$a_n=1+\underbrace{\frac1n+\frac1{n(n-1)}=\ldots+\frac1{n!}}_{n-1\text{ terms}}\;;$$

se puede poner un constante límite superior en que?