Explica por qué los vectores que has determinado juntos forman una base para $\mathbb{R}^3$ .

Question

Dejemos que $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ .

1. Explique por qué $0$ es un valor propio de la matriz $A$ .
   $0$ es un valor propio de $A$ porque esto obliga al determinante de $A$ para ser $0$ (como el producto de los valores propios de un $n\times n$ es el determinante) lo que significa que $A$ es singular (no invertible). Así es como encontramos los valores propios de $A$ .
2. Determina los otros valores propios de la matriz $A$ .
   El polinomio característico de $A$ viene dada por \begin{equation*} \begin{split} c(\lambda) = \text{det}(A-\lambda I) = \text{det}\begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{bmatrix} &= (1-\lambda) \begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ 2 & -\lambda \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -\lambda \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & -\lambda \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= -\lambda^3+\lambda^2+2\lambda \\lambda &= -\lambda(\lambda^2-\lambda-2) \lambda &= -\lambda(\lambda+1)(\lambda-2), \nd{split} \fin{ecuación*} utilizando la expansión del cofactor a lo largo de la primera fila. Los valores propios de $B$ son las raíces de $c(\lambda)$ que son $\lambda = 0$ , $\lambda = -1$ y $\lambda = 2$ .
3. Explica por qué los vectores que has determinado en 2. juntos forman una base para $\mathbb{R}^3$ .
   Esta es la pregunta con la que tengo problemas. Es porque como hay 3 valores propios distintos entonces hay 3 vectores propios distintos lo que significa que el conjunto $\{v_1,v_2,v_3\}$ son linealmente independientes. Por lo tanto, forman una base para $\mathbb{R}^3$ ? Gracias.

Answer 1

1. Primera solución

Sólo hay que encontrar los vectores propios de la matriz A. Los vectores propios correspondientes a los valores propios $0,2,-1$ son $[-2,-1,1]^T$ , $[0,1,1]^T$ y $[-1,-1,1]^T$ respectivamente. Se puede ver fácilmente que los tres elementos de $\mathbb{R}^3$ son linealmente independientes, calculando el determinante de la matriz $P$ $$P=\left[\begin{matrix}-2 & 0 & -1\\-1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$ que definen, que es $\text{det}(P)=-2\neq0$ .

Entonces, usando el hecho que usted correctamente declaró arriba, que es que $n$ vectores linealmente independientes de $\mathbb{R}^n$ forman una base para $\mathbb{R}^n$ se demuestra que los vectores propios de $A$ forman una base para $\mathbb{R}^3$ .

Εdit : De hecho, ahora que lo pienso de nuevo, ni siquiera necesitamos calcular los valores propios de la matriz, porque, como has dicho antes, sabemos que los vectores propios correspondientes a diferentes valores propios son linealmente independientes.

2. Segunda solución

La matriz $A$ tiene $3$ valores propios distintos, por lo que es diagonalizable: existe una base $\hat{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$ de $\mathbb{R}^3$ y una matriz diagonal $D$ (con los valores propios de $Α$ en su diagonal) tal que $(f: \hat{a})= D$ , donde $f$ es el mapa lineal que corresponde a la matriz $Α$ . Como resultado, $f(a_i)=\lambda_ia_i$ que muestra que los elementos de la base de $\mathbb{R}^3$ son sólo los vectores propios de $A$ .