Dejemos que $(R,\mathfrak{m},k)$ sea un anillo local noetheriano conmutativo. ¿Existe un plano conmutativo $R$ -Álgebra $S$ tal que $\mathfrak{m}S=0$ o $S/\mathfrak{m}S$ tiene dimensión plana finita sobre $S$ ? Sé que si $R$ es regular de característica primera, entonces el cierre perfecto de $R$ satisface esa condición, pero en el caso general no sé nada al respecto.
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Milou
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Si $\mathfrak{m}S=0$ entonces $S/\mathfrak{m}S$ tiene dimensión plana finita sobre $S$ , por lo que entenderé la pregunta como:
Dejemos que $(R,\mathfrak{m},k)$ sea un anillo local noetheriano conmutativo. ¿Existe un plano conmutativo $R$ -Álgebra $S$ tal que $S/\mathfrak{m}S$ tiene dimensión plana finita sobre $S$ ?
No sé si estás considerando el posible caso $S/\mathfrak{m}S=0$ (si es que sí, por ejemplo el caso cuando $R$ es un dominio, entonces su campo de fracción funciona). Si no es así, la respuesta es afirmativa si y sólo si $R$ es regular . Si $R$ es regular, entonces podemos tomar $S:=R$ . A la inversa, a partir de los isomorfismos
$$Tor^R(k,k)\otimes_k(S\otimes_Rk)=Tor^R(k,S\otimes_Rk)=Tor^S(S/\mathfrak{m}S,S\otimes_Rk) $$ deducimos que la dimensión plana de $k$ en $R$ es finito y por lo tanto $R$ es regular.
