demostrar que $2^{3n}\equiv 1$ (mod 7) para cada número entero $n>0$

Question

Utilicé el pequeño Teorema de Fermat para escribir $$2^7\equiv 2 \ \ \ (\mbox{mod} \ 7) \Rightarrow 2^6\cdot2\equiv 2 \ \ \ (\mbox{mod} \ 7) $$ $$2^{2\cdot3}\equiv 1 \ \ \ (\mbox{mod} \ 7)$$ Aumento a $m$ - de la energía, $m>0$ Tengo $$2^{2\cdot3m}\equiv 1 \ \ \ (\mbox{mod} \ 7)$$ Y ahora cambiando $2m$ por $n$ . ¿He hecho algo mal?

Answer 1

El pequeño teorema de Fermat afirma que si $p$ es un número primo, entonces para cualquier número entero $a$ el número $a^p-a$ es un múltiplo entero de $p$ . En la notación de la aritmética modular, esto se expresa como $$a^p \equiv a \pmod p.$$

Si $a$ no es divisible por $p$ el pequeño teorema de Fermat es equivalente a la afirmación de que $a^{p − 1} − 1$ es un múltiplo entero de $p$ o en símbolos: $$a^{p-1}\equiv 1 \pmod p.$$

Ya que, para cualquier $n > 0$ , $2^n$ no es divisible por $7$ tenemos $(2^n)^6\equiv 1 \pmod 7$ es decir, $$2^{3n}2^2\equiv 1 \pmod 7.\quad (*)$$ Usted ha demostrado que para cualquier EVENTO $k$ , $2^k\equiv 1 \pmod 7$ entonces $(*)$ se convierte en $$2^{3n}\equiv 1 \pmod 7.$$

Answer 2

También puedes utilizar la inducción.

Caso base: $(n=1)$ :
$2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7$ . BIEN.

Paso de inducción:
Supongamos que $2^{3k}\equiv 1 \mod 7$ para algún número entero positivo $k$ .
Entonces $2^{3(k+1)} = 2^{3k}\times 2^3 \equiv 1 $ (por hipótesis) $\times 8 = 8 \equiv 1 \mod 7$ .

Answer 3

Sí, al "cambiar $\,2m\,$ a $\,n$ " $ $ usted asume $\,n\,$ es par, por lo que su argumento es incompleto ya que no maneja el caso $\,n\,$ es impar. Para solucionarlo, utilizando (sólo) poco $\rm\color{#0a0}{\rm Fermat}$ (según sus necesidades) podemos hacer

$\quad\!\bmod 7\!:\,\ \color{#c00}{2\equiv 3^{\large 2}}\Rightarrow\, \color{#c00}2^{\large 3n}\!\equiv (\color{#c00}{3^{\large 2}})^{\large 3n}\!\equiv (\color{#0a0}{3^{\large 6}})^{\large n}\!\equiv \color{#0a0}1^{\large n}\!\equiv 1\ $ por el Regla de poder de congruencia

Nota: $\ $ En general, por Criterio de Euler tenemos

$$p\nmid a\ \Rightarrow\ a^{\large (p-1)/2} \equiv \begin{cases}\ \ \ 1,\ \,\text{if $\,a\ \ $ is $\ \ $ a square $\!\pmod{\! p}$} \\ -1,\ \, \text{if $\,a$ isn't a square $\!\pmod{\! p}$} \end{cases}\qquad$$

Si -como en el caso anterior- sabemos cuál es el caso, entonces podemos utilizar el criterio para reducir el exponente de Fermat en un factor de $\,2\,$ al aplicar reducción de orden modular lo que puede simplificar (mucho) los cálculos. Como se menciona en el enlace sobre el criterio, podemos de manera eficiente determinar algorítmicamente qué caso se cumple utilizando Símbolos de Legendre y la recirculación cuadrática, por lo que esta optimización del pequeño Fermat es generalmente aplicable una vez que se conocen estos métodos.

Answer 4

Simple: $$ 2^{3 n} = 8^n \equiv 1^n \pmod{7} $$