Probabilidad de los dados: n>6 tiradas y cada número aparece al menos una vez

Question

Si se lanzan n dados (n>6), ¿cuál es la probabilidad de que cada uno de los seis números aparezca al menos una vez?

• Dados de 3 números:

He intentado alguna solución dura haciendo un ejercicio manual para conseguir la fórmula con un dado de 3 números (es decir, A B C).

Si lanzo los dados n veces los valores posibles son $(1/3)^n$ (3 veces = 27, 4 veces = 81, 4 veces = 243) mientras que los diferentes valores son:

• 3 dados: ABC ACB BAC BCA CAB CBA = 6
• 4 dados: A ABC A ACB A BAC A BCA A CAB A CBA B ABC B ACB ... = 36
• 5 dados: A AABC A AACB A ABAC A ABCA ... = 150

Estoy seguro de que los valores anteriores son ciertos porque los he calculado manualmente. A partir de ahí he intentado que la fórmula resuelva el problema y funciona bien lo siguiente (para un dado de 3 números):

Se tiran 3 dados: $3*(R_0+(2^{(3-1)})-2)/3^3 = 6/27 = R_1$

Se tiran 4 dados: $3*(R_1+(2^{(4-1)})-2)/3^4 = 36/81 = R_2$

Se tiran 5 dados: $3*(R_2+(2^{(5-1)})-2)/3^5 = 150/243 = R_3 \ldots$

La fórmula sólo funciona refiriéndose al resultado anterior porque como puedes ver siempre se repite 3 veces, así que la he nombrado como $R_1, R_2, R_3 \ldots (R_0 = 0)$ .

• Parece ser correcto así que traté de averiguar la fórmula para un F caras de los dados lanzados n veces:

$F*(R_0+((F-1)^{(n-1)})-(F-1))/F^n$

Lo he probado pero no funciona y no encuentro el problema.

¿Pueden ayudarme a resolver este problema?

Answer 1

Digamos que tenemos $n$ dados, cada uno con $d$ caras.

Utilizando el Principio de inclusión-exclusión generalizado , Dejemos que $S(i)$ sean los resultados en los que la cara $i$ no está rodado. Entonces $N(j)$ es el número de resultados en los que $j$ de las caras no están enrolladas, y $d^n$ es el número de resultados posibles. La probabilidad de que $j$ de las caras no están enrolladas es $$ \frac{N(j)}{d^n}=\overbrace{\ \ \ \binom{d}{j}\ \ \ }^{\substack{\text{number of}\\\text{face choices}}}\overbrace{\left(1-\frac jd\right)^n\vphantom{\binom{d}{j}}}^{\substack{\text{for each choice}\\\text{of faces, the}\\\text{probability of}\\\text{not rolling them}}} $$ Así, la probabilidad de estar en $0$ de estos estados es $$ \sum_{j=0}^\infty(-1)^j\binom{j}{0}N(j)=\sum_{j=0}^d(-1)^j\binom{d}{j}\left(1-\frac jd\right)^n $$ Para $d=3$ Esto da como resultado $$ 1-3\left(\frac23\right)^n+3\left(\frac13\right)^n-\left(\frac03\right)^n $$ El $\left(\frac03\right)^n$ término se vuelve importante cuando $n=0$ (nosotros definir $0^0=1$ Esto es no un límite; véase también esta respuesta ).

Answer 2

Para un dado de 3 caras, la probabilidad de que los 3 valores sean lanzados al menos una vez en $n$ rollos es:

$P(3,n) = \frac{Q(3,n)}{R(3,n)} = \frac{3^n - 3(2^n) + 3}{3^n}$

Esta expresión puede derivarse utilizando el principio de inclusión-exclusión. El denominador $Q(3,n)$ satisface efectivamente la relación de recurrencia que has descubierto:

$Q(3,n) = 3(Q(3,n-1) +2^{n-1}-2)$

Sin embargo, esta fórmula no funcionará para más de 3 caras, porque el principio de inclusión-exclusión introduce un término extra en el denominador $Q(m,n)$ para cada nueva cara. Por ejemplo, para 4 caras la probabilidad de que los 4 valores se vean en $n$ rollos es

$P(4,n) = \frac{Q(4,n)}{R(4,n)} = \frac{4^n - 4(3^n) + 6(2^n) -4}{4^n}$

Answer 3

Puedes calcular la probabilidad de lanzar $k\leq m$ diferentes números rodando $n$ dados con $m$ lados utilizando la siguiente fórmula:

$$P_m(n,k)=\begin{cases}0&, k>n \\ 1&, n\geq k=1\\ \frac{k}{m}P_m(n-1,k-1)+\left(1-\frac{k}{m}\right)P_m(n-1,k)&, n\geq k >1\end{cases}$$