Demostración de la integrabilidad de Riemann de una función.

Question

Definir una función $f$ por

$$f(x) = \begin{cases}42 & \text{if }x =1,2,3,4; \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Demostrar que $f$ es integrable en $[0,5]$ utilizando el criterio de la suma de cajas.

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Mi trabajo:

$$BS(f,P) = (M_1-m_1)\Delta x_1 + (M_2-m_2)\Delta x_2 + \dots + (M_9-m_9)\Delta x_9 = 0 + 42\Delta x_2 + 0 + 42\Delta x_4 + \dots + 42\Delta x_8 + 0 = 42(\Delta x_2+\Delta x_4+\Delta x_6+\Delta x_8).$$

Elegimos $\Delta x_2$ , $\Delta x_4$ , $\Delta x_6$ y $\Delta x_8$ para que $\Delta x_2+\Delta x_4+\Delta x_6+\Delta x_8<\frac{\epsilon}{42}$ .

Esto satisface el criterio de la suma de cajas y por lo tanto $f:[0,5]\rightarrow \mathbb{R}$ es integrable.

¿Cómo se ve todo?

Answer 1

Se ve bien. Mi única sugerencia es que describas una partición específica. Por ejemplo: Que $x_1=1-\epsilon/(42\cdot9)$ , $x_2=1+\epsilon/(42\cdot9)$ , $x_3=2-\epsilon/(42\cdot9)$ , $x_4=2+\epsilon/(42\cdot9)$ etc. Entonces se pueden dar las sumas explícitamente: la suma inferior es cero, y la superior es $4\cdot\left(42\cdot\displaystyle\frac{2\epsilon}{42\cdot9}\right)< \epsilon$ .