Calcular el límite $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\tan \theta}$

Question

Estoy calculando este límite y agradecería que me dieran su opinión sobre mi solución

$\lim\limits_{\theta \to 0}\dfrac{\sin \theta}{\tan \theta}$

Lo que he probado:

dado que $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\;,$

entonces reordeno la ecuación así:

$$\frac{\sin \theta}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta \cos \theta }{\sin \theta} = \cos \theta$$

Como $\theta$ se acerca a $0$ Entonces, ¿es cierto que $\dfrac{\sin \theta}{\tan \theta}=\cos\theta\to1\;?$

Answer 1

Su enfoque es perfecto. La razón por la que se puede cancelar el $\sin\theta$ es que no son exactamente ceros, aunque tienden a $0$

Answer 2

Su solución es 100% correcta.

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Una forma alternativa utilizando la regla del hospital de L

$\lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{\tan x}\right)=\frac{\frac{d}{dx}\left(\sin x\right)}{\frac{d}{dx}\left(\tan x\right)}=\frac{\cos x}{\sec ^2x}=\cos ^3x=1$

Absolutamente innecesario, pero como la regla hopital de L se enseña después de los límites directos, pensé que podría ser útil después.... :~)