Demostrar que $M_{n}(R)/M_{n}(I)\cong M_{n}(R/I)$

Question

Tengo el siguiente problema en el que estoy trabajando:

Dejemos que $R$ sea un anillo con identidad multiplicativa $1_{R}$ y que $I$ sea un ideal (de dos caras) de $R$ . Dejemos que $n$ sea un número natural y denote por $M_{n}(R)$ el anillo de $n\times n$ matrices sobre $R$ . Demostrar que $$\frac{M_{n}(R)}{M_{n}(I)}\cong M_{n}(R/I).$$

Intento aplicar el Primer Teorema del Isomorfismo. Aquí está mi trabajo hasta ahora:

Dejemos que $\Theta:M_{n}(R)\to M_{n}(R/I)$ sea el mapa que lleva una matriz con entradas en $R$ a la misma matriz, pero con entradas consideradas en $R/I$ . En otras palabras, si $S=(s_{ij})\in M_{n}(R)$ entonces $\Theta[(s_{ij})]=(\overline{s_{ij}})$ , donde $\overline{s_{ij}}=s_{ij}+I$ es el coset de $s_{ij}$ en $R/I$ . Entonces:

• $\Theta$ es un morfismo. Si $S=(s_{ij})$ y $T=(t_{ij})$ son dos matrices en $M_{n}(R)$ entonces $$\Theta(S+T)=\Theta[(s_{ij}+t_{ij})]=(\overline{s_{ij}+t_{ij}})=(\overline{s_{ij}})+(\overline{t_{ij}})=\Theta(S)+\Theta(T).$$ De la misma manera, $\Theta$ respeta la multiplicación, ya que $$\Theta(ST)=\Theta[(s_{ik}t_{kj})]=(\overline{s_{ik}t_{kj}})=(\overline{s_{ik}})(\overline{t_{jk}})=\Theta(S)\Theta(T).$$
• $\mathrm{Ker}(\Theta)=M_{n}(I)$ . De hecho, tenemos

\begin{split}S\in\mathrm{Ker}(\Theta)&\Leftrightarrow \Theta(S)=(\overline{s_{ij}})=(0_{R})_{n\times n} \\ &\Leftrightarrow \overline{s_{ij}}=\overline{0}\:\:\: \forall\:\: i,j\\ &\Leftrightarrow s_{ij}\in I\:\:\: \forall\:\: i,j\\ &\Leftrightarrow S\in M_{n}(I). \end{split}

¿Mi trabajo parece correcto? Además, hay dos cosas en las que estoy atascado: mostrar que $\Theta$ está bien definida, y mostrando que $\Theta$ es sobreyectiva. Gracias de antemano por cualquier ayuda o sugerencia.

ACTUALIZACIÓN: La "multiplicación" anterior no tiene sentido, porque no existe una definición en $k$ . Sin embargo, escribiendo en la notación sumatoria (que debería haber hecho al principio), tenemos $$\Theta(ST)=\Theta\left[\left(\sum_{k=1}^{n}s_{ik}t_{kj}\right)\right]=\left(\overline{\sum_{k=1}^{n}s_{ik}t_{kj}}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\overline{s_{ik}}\cdot\overline{t_{kj}}\right)=(\overline{s_{ij}})(\overline{t_{ij}})=\Theta(S)\Theta(T).$$

Answer 1

Todo parece bien hasta la parte de la multiplicación. ¿Cuál es la $ij$ coeficiente de $ST$ ? (ciertamente no $s_{ik}t_{kj}$ porque no hay una definición de $k$ !)

Entonces en su prueba de $\mathrm{Ker}\Theta = M_n(I)$ debe decir $0_{R/I}$ no $0_R$ .

En cuanto a las cosas en las que estás atascado:

$\Theta$ está bien definida; prueba: la has definido tú. Más en serio, $\Theta(S)_{ij} = \pi(s_{ij})$ con $\pi : R\to R/I$ la proyección canónica está perfectamente definida, ¿por qué habría un problema aquí? Como "regla general", los problemas de definición aparecen sobre todo cuando se definen mapas a partir de un cociente, porque estos mapas se definen normalmente utilizando un representante de la clase de equivalencia, cuando la imagen de la clase sólo debería depender de la clase, no de un representante específico.

Para demostrar que $\Theta$ es suryente, toma una matrícula $M\in M_n(R/I)$ y mira su $ij$ coeficiente : $m_{ij} \in R/I$ . ¿Qué puede decir entonces sobre $m_{ij}$ ? Y así sobre $M$ ?