$\langle u,\phi\rangle=0$ cuando ${\rm supp}(u)\cap{\rm supp}(\phi)^\circ=\emptyset$ ?

Question

Sé que $\langle u,\phi\rangle=0$ si ${\rm supp}(u)\cap{\rm supp}(\phi)=\emptyset$ . Durante un tiempo me pregunté si es suficiente que $\phi$ se desvanece en ${\rm supp}(u)$ pero eso no es cierto, como se puede ver con $u=\delta'$ y $\phi=x$ alrededor de $0$ . Pero ahora me pregunté, ¿es tal vez suficiente para asumir ${\rm supp}(u)\cap{\rm supp}(\phi)^\circ=\emptyset$ ?

Answer 1

Dejemos que $\Omega\subseteq{\bf R}^n$ y $\phi\in{\cal D}(\Omega)$ dado que ${\rm supp}(u)\cap{\rm supp}(\phi)^\circ=\emptyset$ construiré una secuencia $\phi_k$ de funciones de prueba con ${\rm supp}(u)\cap{\rm supp}(\phi_k)=\emptyset$ convergiendo a $\phi$ . Dejemos que $X_k:=\{x\in{\bf R}^n:d(x,{\rm supp}(u)\ge 2/k\}$ y $f_k$ la función característica de $X_k$ . Además, dejemos $j\in{\cal D}(B_1(0))$ sea una función de bache, es decir $\int j=1$ y $j_k:=x\mapsto k^n j(kx)$ así como $\phi_k:=\phi\cdot f_k*j_k$ . De hecho, se trata de una función de prueba en $\Omega$ con ${\rm supp}(\phi_k)\subseteq{\rm supp}(\phi)$ y ${\rm supp}(\phi_k)\cap{\rm supp}(u)=\emptyset$ .

Supongamos ahora $\partial^\beta\phi_k$ no converge uniformemente a $\partial^\beta\phi$ porque alrededor de cualquier punto $x$ con $d(x,{\rm supp}(u))>4/k$ tenemos que $\phi_k$ es igual a $\phi$ debe haber una secuencia $(x_k)_k$ con $d(x_k,{\rm supp}(u))\le 4/k$ tal que $|\partial^\beta(\phi_k-\phi)(x_k)|$ no converge. Porque $x_k$ vive en el conjunto compacto ${\rm supp}(\phi)$ hay alguna subsecuencia $(x_{l(k)})_k$ convergiendo a un punto $x$ en el límite de ${\rm supp}(\phi)$ con $|\partial^\beta(\phi_{l(k)}-\phi)(x_{l(k)})|\ge\epsilon$ y como $\partial^\beta\phi(x_{l(k)})$ converge a $0$ basta con demostrar que $|\partial^\beta\phi_{l(k)}(x_{l(k)})|$ converge a $0$ también para derivar una contradicción.

Con $C_\alpha:=\|\partial^\alpha j\|_\infty$ tenemos $\|\partial^\alpha(f_k*j_k)\|_\infty=\|f_k*(\partial^\alpha j_k)\|_\infty\le k^{|\alpha|}C_\alpha$ . Así que $|\partial^\beta\phi_{l(k)}(x_{l(k)})|\le\sum_{\alpha\le\beta}{\beta\choose\alpha}|\partial^\alpha \phi(x_{l(k)})|l(k)^{|\beta-\alpha|}C_{\beta-\alpha}$ y basta con demostrar que $l(k)^{\beta-\alpha}\partial^\alpha\phi_{l(k)}(x_{l(k)})$ converge a $0$ para cualquier $\alpha\le\beta$ . Pero ampliando $\partial^\alpha\phi_{l(k)}(x_{l(k)})$ en una serie de Taylor alrededor de $x$ vemos inmediatamente que esto debe ser cierto.