La falta de memoria de la distribución exponencial

Question

Por favor, ayúdenme a resolver la siguiente pregunta con dos partes.

$T$ es el tiempo necesario para reparar una máquina. Tenemos que $T$ se distribuye exponencialmente con una media de $\frac{1}{2}$ horas.

Para la primera parte de la pregunta, se me pide que encuentre la probabilidad de que el tiempo de reparación supere $\frac{1}{2}$ horas. Me parece que $$P(T> \frac{1}{2})= \frac{1}{e}$$

Estoy un poco atascado en la segunda parte de la pregunta: "¿Cuál es la probabilidad de que una reparación dure al menos 12,5 horas dado que su duración es superior a 12 horas?

Estaba pensando que la respuesta es

$$P(T\geq 12.5 \, | \, T>12)=P(T\geq .5) = \frac{1}{e} \, \text{ ,}$$

ya que la distribución exponencial no tiene memoria. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, es correcto, esto es lo que se entiende por falta de memoria.

En general, para todos los $s\geq 0$ , $t \geq 0$ tenemos

$$P(T>s+t\mid T>s) = P(T>t) = e^{-\lambda t}.$$

Podemos demostrar la ausencia de memoria transformando la expresión en el lado izquierdo utilizando la definición de probabilidad condicional, como sigue

$$ \begin{align} P(X>s+t\mid X>s) &= \frac{P\big(X>s+t\cap X>s\big)}{P(X>s)} = \frac{P(X>s+t)}{P(X>s)} \\ &= \frac{\int_{s+t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx}{\int_{s}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx}= \frac{0- -e^{-\lambda (s+t)}}{0- -e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t) \end{align} $$

Acreditación: Se trata de una ligera modificación de esta respuesta por Tianyu Zheng