¿Es posible resolver esta ecuación cuadrática sin calcular el discriminante?

Question

Tengo la ecuación cuadrática $\;\;5x^2+96x-576=0\;\;$ . Me pregunto si podemos resolverlo sin usar la fórmula $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ? Sospecho que hay alguna manera de hacerlo porque tenemos un montón de $24$ s , ( $96=24\times4$ y $576=24^2)$ pero no lo encuentro.

Answer 1

Dejemos que $y = 24$ y tienes

$$5x^2+4xy - y^2$$

que fácilmente factores como $(5x-y)(x+y)$ .

Answer 2

Al reconocer que $96=24\cdot4$ y $576=24^2$ tiene sentido dejar que $x=24u$ , factorizar el $24^2$ de los tres términos, y reducir la cuadrática a

$$5u^2+4u-1=0$$

Esto es un factor fácil de tener en cuenta en $(5u-1)(u+1)=0$ En ese momento puede dejar que $u=x/24$ multiplica el $24^2$ de nuevo, y conseguir

$$(5x-24)(x+24)=0$$

Answer 3

Un método fácil es comenzar con la factorización de $x$ y $24$

$$5x^2+96x-576=0$$ $$(5x^2-24)+(120x-576)\tag{Break into groups}$$ $$x(5x-24)+24(5x-24)\tag{Factor out x and 24}$$ $$(5x-24)(x+24)=0$$