convergencia uniforme de secuencias de funciones analíticas

Question

Suponga que tiene una secuencia $f_n$ de funciones analíticas en un conjunto abierto $\Omega$ que converge uniformemente en subconjuntos compactos de $\Omega$ . ¿Puede concluir que $f_n$ converge uniformemente en toda la zona abierta $\Omega$ ?

Answer 1

No: si $\Omega:=\{z,|z|<1\}$ y $f_n(z):=z^n$ esta secuencia converge uniformemente a $0$ en conjuntos compactos (porque tal conjunto está contenido en $B(0,r),r<1$ ) pero no en $\Omega$ como $f_n(1-n^{—1)}\to e$ .

Answer 2

Otro ejemplo: la serie $\displaystyle\sum \frac{z^k}{k!}$ converge uniformemente en subconjuntos compactos de $\Omega$ pero no en su totalidad $\mathbb{C}$ , como $$ e^{n} - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{n^k}{k!} \geq \frac{n^n}{n!} $$