Núcleo, base y espacio de columnas

Question

Si una matriz $A$ tiene la forma reducida de fila

$A=$$\begin{pmatrix} 1&3&0&3 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $

entonces el núcleo del mapa lineal $T : \mathbb{R}^4 \mathbb{R}^3$ definido por $T(x) = Ax$ tiene base $$(3,1,0,0), (3, 0, 1, 1).$$

¿Cómo puedo probar o refutar la afirmación sobre el núcleo?

Se agradece cualquier ayuda, chicos. Además, ¿cómo puedo demostrar que las columnas 2 y 4 forman una base para el espacio de la columna?

Answer 1

Utilice el teorema de nulidad de rango, que dice que

$\dim R^4 = \dim ker(A) + \dim rank (A)$

Aquí $\dim ker(A) = 4 - 2 = 2$ . Sus dos vectores son linealmente independientes y por tanto forman una base de $ker(A)$ .

Answer 2

La matriz reducida es $A=\begin{pmatrix} 1&3&0&3 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}$ y si queremos encontrar el generador del Kernel tenemos que resolver el sistema $A\underline x=\underline0$ : $$A=\begin{pmatrix} 1&3&0&3 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\underline x=\underline 0\implies \begin{pmatrix} 1&3&0&3 \\ 0&0&1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\implies$$ $$\begin{cases}x+3y+3w=0\\z-w=0 \end{cases}\implies z=w=t\in\mathbb R,y=s\in\mathbb R,x=-3t-3s.$$ Así que podemos afirmar que $\operatorname{Ker}(F)=\Big\langle\begin{pmatrix}-3\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \Big\rangle$ .