Entender el teorema de la representación de Martingala

Question

Teorema (Teorema de la representación):Sea $X$ sea un modelo binario y que $V_T$ ser un $\mathscr{F}_T$ -variable aleatoria medible. Entonces existe un proceso predecible acotado $H$ y un $v_0\in\mathbb{R}$ con $V_T=v_0+(H.X)_T$ .

Prueba : Demostramos que existe $\mathscr{F}_{T-1}$ -variables aleatorias medibles $V_{T-1}$ y $H_T$ tal que $V_T=V_{T-1}+H_T(X_T-X_{T-1})$ . Por inducción hacia atrás, se obtiene la afirmación. Dado que $V_T$ es $\mathscr{F}_T$ -por el lema de la factorización, existe una función $g_{T}:\mathbb{R}^T\to\mathbb{R}$ con $V_T=g_T(X_1,...,X_{T})$ . Definir:

$X^{\pm}_T=f_T(X_1,...,X_{T-1},\pm 1)$ y $V^{\pm}_T=g_T(X_1,...,X_{T-1},X^{\pm}_T)$ .

Cada una de estas cuatro variables aleatorias es manifiestamente $\mathscr{F}_{T-1}$ -medible. De ahí que busquemos soluciones $V_{T-1}$ y $H_T$ del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$V_{T-1}+H_T(X^{-}_T-X_{T-1})=V^{-}_T\\V_{T-1}+H_T(X^{+}_T-X_{T-1})=V^{+}_T$

Por construcción, $X^+_{T}-X^{-}_T\neq 0$ si $V^{+}_T-V^{-}_T\neq 0$ . Por lo tanto, podemos resolver el sistema y obtener:

$H_t=\begin{cases} \frac{V^{+}_T-V^{-}_T}{X^+_{T}-X^{-}_T}, & \mbox{ if }X^+_{T}\neq X^{-}_TE\\ 0, & \mbox{ else }\end{cases},$

y $V_{T-1}=V^{+}_T-H_T(X^{+}_T-X_{T-1})=V^{-}_T-H_T(X^{-}_T-X_{T-1})\:\:\:\:\:\:\:\blacksquare$

Estoy tratando de entender esta prueba pero no sé si la he entendido bien.

Preguntas:

1) Cuando empieza a demostrar por inducción hacia atrás. ¿Quiere decir que $V_T=V_{T-1}+H_T(X_T-X_{T-1})$ ¿se supone que es cierto?

2 ) ¿Por qué $X^+_{T}-X^{-}_T\neq 0$ si $V^{+}_T-V^{-}_T\neq 0$ ¿es cierto? ¿Por qué no es al revés?

3 )Por qué la prueba es completa después de resolver el sistema y obtener $H_T$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

Proporciono direcciones para responder a sus preguntas:

1. $\forall t$ en 0,...,T $, V_t=V_{t-1}+H_T(X_t-X_{t-1}) \\ \Rightarrow \sum\limits_{t=1}^T V_t-V_{t-1}=\sum\limits_{t=1}^TH_t(X_t-X_{t-1}) \\ \Rightarrow V_T-V_0=\sum\limits_{t=1}^TH_tX_t - \sum\limits_{t=0}^{T-1}H_{t+1}X_{t} $

$H^1_t = ? $ que también es predecible

$v_0 = V_0$

La primera línea no se da por cierta. Está probada. El autor comienza afirmando que para demostrar el teorema basta con demostrarlo. Aquí también utiliza una redacción extravagante. La prueba de la afirmación $V_t=V_{t-1}+H_T(X_t-X_{t-1})$ comienza en la palabra "Desde $V_T$ es ".

2. Proviene de esta ecuación ( $*$ ) $V_{T-1}+H_T(X^{-}_T-X_{T-1})=V^{-}_T$ . El autor asume esta verdad para buscar un candidato H. Encuentra el candidato H que demuestra ( $*$ ). Se trata de un razonamiento de análisis-síntesis. construyó $X^+$ , $X^-$ , $V^-$ y $V^+$ (que son $\mathscr{F}_{T-1}$ medibles porque sólo dependen de $X_{T-1},...,X_1$ ) con el fin de construir en última instancia un proceso H que sea predecible.
3. En primer lugar, observe la siguiente relación: $V_T = g_T(X_1,..,X_T) = g_T(X_1,..,X_{T-1},1) 1_{X_T=1}+ g_T(X_1,..,X_{T-1},-1) 1_{X_T=-1} \\ = V_T^+ 1_T^+ + V_T^- 1_T^- \\ \text{Likewise, } X_T=X_T^+ 1_T^+ + X_T^- 1_T^-$

Tenemos ( $E^+$ ) $V_{T-1}+H_T(X^{+}_T-X_{T-1})=V^{+}_T$ y ( $E^-$ ) $V_{T-1}+H_T(X^{-}_T-X_{T-1})=V^{-}_T$

Hagamos $(E^+) \times 1^+_T + (E^-) \times 1^-_T$

Demuestra $V_{T-1} =V_T - H_T(X_T)*X_{T-1} $

Añado las siguientes intuiciones para los lectores menos experimentados:

Filtración: En la probabilidad de una filtración $\mathscr{F}_T$ (que es "generado" por $(X_T)$ en este contexto) se puede pensar en el objeto matemático que reúne toda la información disponible después de observar ( $X_T$ ) durante el tiempo [0,T] (como si se almacenara toda la información asociada a X en el mundo en el tiempo T en $\mathscr{F}_T$ ). Contiene más información que sólo los valores realizados. Cualquier función que dependa de la distribución conjunta $(X_1,..X_T)$ se conoce condicionalmente a $\mathscr{F}_T$ .

Medibilidad: Puedes pensar en ser $\mathscr{F}_T-measurable$ como enteramente determinado (determinista significa que se puede obtener el valor), por la observación de la distribución pasada de X hasta T (una vez más no sólo la variable $X_t$ y sus valores realizados $x_t$ sino la distribución conjunta). En términos matemáticos simples, se puede caracterizar por el lema de la factorización: $V_T =g_T (X_1 ,...,X_T )$