Secuencia de p sorteos sin reemplazo con probabilidades sesgadas

Question

Hola

Tengo un problema que me resulta difícil de modelar.

Supongamos que tengo una urna con $N$ canicas. Entre estas canicas, una es blanca y todas las demás son negras. Yo extraigo $P$ canicas sin reemplazo. Si la probabilidad de sacar una canica es uniforme, entonces la distribución hipergeométrica me dice que la probabilidad $P_W$ de tener el mármol blanco entre los $P$ canicas es:

$P_W=\frac{\binom{1}{1} \binom{N-1}{P-1}}{\binom{N}{P}}=\frac{P}{N}$

Ese era el caso fácil.

Ahora supongamos que tenemos diferentes pesos para cada canica. Una canica $i$ se le asigna un peso $w_i$ y la probabilidad de sacar la canica $i$ con un solo sorteo es $p_i=\frac{w_i}{\sum_i w_i}$

Ahora volvamos a nuestro $P$ sorteos. ¿Cuál es la probabilidad $P_W$ según $P$ , $N$ , $w_i$ .

Todas las ideas son bienvenidas incluso con casos límite como $P << N$

Gracias

Answer 1

Esta probabilidad está siempre limitada desde abajo por la probabilidad con reemplazo, que es $1-(1-w)^k$ donde $w$ es la probabilidad de coger la canica blanca en un solo sorteo, y $k$ es el número de sorteos (cambiado de $P$ en su pregunta, que es una opción poco ortodoxa).

La probabilidad de sacar la canica blanca en el $i$ -La etapa 1 está limitada desde arriba por $w/(1-\sum_{j=0}^i w_j)$ , donde $w_0,\ldots$ se ordenan por peso descendente y suman 1. Por lo tanto, la probabilidad de sacar la canica blanca se puede acotar desde arriba por $$1-\prod_{i=0}^k(1-\frac{w}{1-\sum_{j=0}^i w_j})$$

En particular, obtenemos el mismo límite asintótico cuando $w_0 << k^{-2}$ .