¿Cuál es la mejor manera de introducir los factores determinantes en un curso de álgebra lineal? Quiero dar ejemplos de la vida real donde el factor determinante es aplicado. Debería tener un impacto real.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Drew Jolesch
Puntos
11
No sé si esto contesta a tu pregunta en términos de responder a "la vida real" aplicaciones de la determinante, pero creo que se trata de su pregunta del título:
Históricamente:
Por lo que entiendo, el cálculo de determinantes no hacer uso de matrices; fue aplicada a los sistemas de ecuaciones lineales y tratada como una propiedad que mide la existencia de soluciones únicas, proporcionando, si se quiere, una "prueba de fuego" para determinar si existen soluciones únicas. Sólo más tarde determinantes se relacionan con matrices.
El origen del concepto y el uso del determinante fechas atrás, creo, a la $3^{rd}$ siglo, cuando los Chinos matemáticos utilizados los factores determinantes en su libro Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático. (Un resumen del texto, en Inglés, puede encontrar aquí. Véase, en particular, la sinopsis del Capítulo 8.)
Geométricamente:
Ayuda a muchos estudiantes a "visualizar" el determinante de una $2 \times 2$ matriz geométricamente, para comprender mejor el determinante, ya que representa el área de un paralelogramo. (Esto se puede encontrar en muchos libros.):
Así que usted puede ver claramente que si $ad-bc=0$ entonces el paralelogramo de repente se convierte en una línea recta (que no tiene).
Para un $3\times 3$ matriz, tenemos que el valor del determinante es igual al volumen de un paralelepípedo cuyas coordenadas corresponden a la matriz de las entradas. Cuando el determinante es cero, el paralelepípedo sufre un decremento por una dimensión (por ende, es sin volumen).
Recursos que pueden ser útiles:
Aparte de leer acerca de los factores determinantes en la Wikipedia y la búsqueda de cualquier prometedor de enlaces, es posible que desee leer un artículo muy bueno de Decisiones Determinantes Menos Extraño por John Duggan.
Ver también los Determinantes y las Transformaciones Lineales - un sitio web útil para unir los conceptos de los determinantes y las transformaciones lineales. En la parte inferior de esta página web vinculada, hay otros enlaces relacionados con el determinante, por ejemplo, el siguiente enlace se profundiza en la relación entre los determinantes y el área y el volumen.
Seguimiento: no pude resistir revisando este post para incluir el enlace a un estado anterior (semi -) de matemática.se post y las respuestas, especialmente la respuesta proporcionada por @I. J. Kennedy. Allí, usted encontrará una "Prueba sin palabras: Una $2 \times 2$ determinante es el área de un paralelogramo," por Solomon W. Golomb.
Philip Fourie
Puntos
12889
Cuando enseño cursos de álgebra lineal, la primera vez que me discutir el determinante de una matriz de $A$, lo describen como el número por el cual $A$ escalas de la zona. Comenzando con un $2\times 2$ ejemplo, yo esbozo una unidad cuadrada con una esquina en el origen, se aplican $A$, y ver que mi plaza es ahora algún tipo de paralelogramo, y su $1$ unidad de área ha sido cambiado por algún valor. Yo lo hago con otras formas familiares que puede o no puede tocar el origen - por ejemplo, un triángulo. Esto es para aclarar que no fue nada especial acerca de la unidad de la plaza; $A$ es de escala de cada poco de la zona en todas partes por el mismo número.
Con buenas habilidades de dibujo o el software, usted puede actualizar este volumen en un espacio de 3 dimensiones.
Y después de todo esto vuelvo a otras perspectivas sobre lo que es un factor determinante. Claridad en esta primera perspectiva, a pesar de que hace algunas cosas más claras, como que una de las razones por $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.
Usted podría tener también un vistazo a: 1. http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/geometry.htm,
http://iate.oac.uncor.edu/mwg-internal/de5fs23hu73ds/progress?id=kg5HkmJb8+,
Ver libros de Anton & Rorres, y Laicos
http://math.tutorvista.com/algebra/application-of-matrices-and-determinants.html
Tony Wong
Puntos
1507
Esto podría no ser lo que usted desea, ya que "real" de las aplicaciones en álgebra lineal parecen implicar una matriz, y por lo tanto una base fija. Pero el factor determinante es la similitud de invariantes, es decir, es la base de independiente. Esto es importante porque significa que el determinante es una propiedad de la transformación lineal, independientemente de cualquier representación (es decir, la matriz de transformación. Este podría ser un poco avanzado, pero invariantes son conceptos importantes para introducir, y el determinante es un ejemplo particularmente bueno de un invariante.
