Puedo entender cómo $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ es la unión de dos $\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ geométricamente. Pero cada vez que escucho frases como "Se puede obtener " $\operatorname{Proj}\mathbb{C}[x_0,x_1]$ pegando $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ y $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[1/x]$ a través del mapa $x\leftrightarrow 1/x$ Me siento un poco confundido. Supongo que el problema es que no entiendo exactamente qué significa "pegar" en el contexto algebraico. La frase mencionada parece referirse a la relación funtorial entre esquemas y anillos, pero no veo qué tiene que ver eso con el encolado.
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Observe que $\Bbb C[x]$ y $\Bbb C[1/x]$ pueden realizarse como subrings de $\Bbb C[x,1/x]$ por las inyecciones naturales. También $\Bbb C[x,1/x]$ es la localización de $\Bbb C[x]$ en el elemento $x,$ pero también es la localización de $\Bbb C[1/x]$ en el elemento $1/x.$ Es importante que el elemento que he llamado $1/x\in\Bbb C[1/x]$ se envía en realidad a la inversa de la imagen de $x$ en el anillo mayor (" $x\leftrightarrow 1/x$ ").
Geométricamente, esto significa que hay mapas naturales de $\operatorname{Spec}(\Bbb C[x,1/x])$ a $\Bbb A^1_x=\operatorname{Spec}(\Bbb C[x])$ y a $\Bbb A^1_{1/x}=\operatorname{Spec}(\Bbb C[1/x]),$ que son inclusiones de un subesquema abierto. En el primer caso, es $D(x)\subseteq\Bbb A^1_x$ y en el segundo caso es $D(1/x)\subseteq\Bbb A^1_{1/x}.$
El subesquema abierto $\operatorname{Spec}(\Bbb C[x,1/x])$ es el "mismo" en ambos casos, por lo que geométricamente tiene sentido identificar, o "pegar", estos subesquemas abiertos idénticos, y considerar $\Bbb A^1_x$ y $\Bbb A^1_{1/x}$ juntos como un esquema con sus subesquemas abiertos isomórficos identificados para darnos $\Bbb P^1$ .
