El locus fundamental de un mapa birracional tiene codimensión $2$

Question

Obsérvese la siguiente proposición (Hartshorne Lemma V.5.1):

Dejemos que $f:X-\rightarrow Y$ sea un mapa biracional entre variedades proyectivas, con $X$ normal. Entonces el lugar donde $f$ no está definido tiene codimensión $2$ en $X$ .

La prueba muestra lo siguiente: si $x$ es un punto de codimensión $1$ (Creo que la codimensión $1$ significa que $\mathcal O_{X,x}$ tiene dimensión $1$ ) entonces $f$ se define en $x$ .

¡No entiendo por qué este hecho implica la proposición anterior! ¿Por qué si $f$ se define en puntos de codimensión $1$ entonces el lugar fundamental tiene codimensión $2$ ?

Answer 1

Debes interpretar "codimensión 2" aquí como "codimensión al menos 2".

Por supuesto, el locus fundamental podría haber más alto codimensión, por ejemplo cuando $f$ es un morfismo.

Answer 2

Dejemos que $U\subset X$ sea el dominio de $f$ . Supongamos que $X\setminus U$ tiene una componente irreducible de 1 dimensión $V$ la prueba muestra que el punto genérico $x$ de $V$ está en $U$ , lo cual es una contradicción.