Dejemos que $f$ sea una función continua, estrictamente decreciente y de valor real tal que $\int_{0}^{+\infty}f(x)\,dx$ es finito y $f(0) = 1$ . En términos de $f^{-1}$ , $\int_{0}^{+\infty}f(x)\,dx$ ¿es?
La respuesta es "igual a $\int_{0}^{1}f^{-1}(y)\,dy$ "
Bien aquí viene mi pregunta. Si hay una manera de garantizar que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$ Entonces estoy totalmente de acuerdo con la respuesta. Sin embargo, supongamos que el $f(x)$ converge a algún punto mayor o menor que $0$ Entonces, ¿cómo puede seguir siendo cierta esta respuesta?
O, ¿hay una manera de probar que $f(x)$ convergerá definitivamente en $0?$
Gracias.
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Creo que $\displaystyle\int_0^{\infty}f(x)\,dx<\infty$ implica $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$ Lo contrario no es cierto.
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@AdrianKeister también necesitamos el criterio de "estrictamente decreciente", ¿correcto?
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@user1952500: La verdad es que no lo creo. Creo que el criterio de "estrictamente decreciente" está ahí para asegurar $f$ tiene un inverso.
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@AdrianKeister entonces si usamos $f(x) = \sin(x)$ Tendremos la integral acotada pero el límite puede no existir ¿verdad? (La integral también puede no existir pero estará acotada por $1$ )
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No estoy seguro de que $\sin(x)$ proporciona un buen contraejemplo. Podría tener sentido intuitivo que $\int_0^{\infty}\sin(x)\,dx<0,$ ¿pero cómo lo probarías? El problema es que estás integrando en un intervalo infinito. El otro problema es que "estrictamente decreciente" es más de lo que necesitas para asegurar que el límite existe. Después de todo, $\sin(x)/x$ tiene un límite de $0$ en el infinito, pero no es estrictamente decreciente.
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@AdrianKeister sí después de pensar más lo que dices es correcto. Como pensamiento no riguroso, si no tiende a cero y tiene un valor mínimo después de algún punto, la integral divergiría.