La clave es que hay que trabajar con canónicamente normalizado para utilizar los argumentos de recuento de potencia.
Expandamos la RG alrededor del espacio plano \begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \tilde{h}_{\mu\nu} \end{equation} La razón de la tilde quedará clara en un segundo. Siempre y cuando $\tilde{h}$ es "pequeño" (o más exactamente mientras la curvatura $R\sim (\partial^2 \tilde{h})$ es "pequeño"), podemos ver la RG como una teoría de campo efectiva de una partícula de espín dos sin masa que vive en el espacio plano de Minkowski.
Entonces la acción de Einstein Hilbert toma la forma esquemática \begin{equation} S_{EH}=\frac{M_{pl}^2}{2}\int d^4x \sqrt{-g} R = \frac{M_{pl}^2}{2} \int d^4x \ (\partial \tilde{h})^2 + (\partial \tilde{h})^2\tilde{h}+\cdots \end{equation} donde $M_{pl}\sim 1/\sqrt{G}$ en unidades con $\hbar=c=1$ . $M_{pl}$ tiene unidades de masa. En esta forma se podría pensar que la interacción $(\partial \tilde{h})^2 \tilde{h}$ viene con una balanza $M^2_{pl}$ con una potencia positiva. Sin embargo esto es demasiado rápido--todos los argumentos de QFT que has visto han supuesto que el término cinético tenía un coeficiente de -1/2, no $M_{pl}^2$ . En este sentido, dado que $M_{pl}$ tiene unidades de masa y la acción tiene unidades de $(mass)^4$ el campo $\tilde{h}$ es adimensional, por lo que claramente no se normaliza de la misma manera que el campo estándar utilizado en los libros de texto de QFT.
Ahora bien, clásicamente, la acción sólo se define hasta una constante global, por lo que somos libres de pensar en $M_{pl}^2$ como una constante arbitraria. Sin embargo, en la QFT, la acción aparece en la integral de trayectoria $Z=\int D\tilde{h}e^{iS[\tilde{h}]/\hbar}$ (nótese la diferencia de notación entre $\tilde{h}$ y $\hbar$ ). Así, la constante global de la acción no es un parámetro libre en la QFT, sino que está fijada y tiene un significado físico. Alternativamente, hay que recordar que la acción de Einstein Hilbert se acoplará finalmente a la materia; cuando hacemos eso, la escala $M_{pl}$ sentado frente a $S_{EH}$ no multiplicará la acción de la materia, y así $M_{pl}$ establece la escala relativa entre la acción gravitatoria y la acción de la materia.
El punto es que no podemos simplemente ignorar la escala global $M_{pl}^2$ tiene un significado físico (es decir, no podemos absorber $M_{pl}$ en un coeficiente global que multiplica la acción). Por otro lado, queremos poner la acción en una forma "estándar" en la que no esté la escala global, para poder aplicar la intuición normal sobre el recuento de la potencia. La solución es trabajar con un "campo canónicamente normalizado" $h$ , relacionado con $\tilde{h}$ por
\begin{equation} \tilde{h}_{\mu\nu} = \frac{h_{\mu\nu}}{M_{pl}} \end{equation}
Entonces la acción de Einstein Hilbert toma la forma
\begin{equation} S_{EH} = \int d^4 x \ (\partial h)^2 + \frac{1}{M_{pl}} (\partial h)^2 h + \cdots \end{equation}
En esta forma está claro que las interacciones de la forma $(\partial h)^2 h$ tienen una "constante de acoplamiento" $1/M_{pl}$ con dimensiones 1/masa, que es no renormalizable por conteo de potencias de la manera habitual.
