Definición de funciones continuas en la teoría del orden

Question

Si tenemos un orden parcial completo (es decir, completo dirigido) encuentro frecuentemente la siguiente definición de función continua. Una función $f:A\to B$ donde $A$ y $B$ son cpos se llama continua si mapea el supremo de subconjuntos dirigidos de $A$ (si existen) a la correspondiente suprema de subconjuntos dirigidos de $B$ .

En los entramados completos definiría las funciones continuas como funciones que preservan los supremos e infimos (ya que ambos existen en un entramado completo para cualquier subconjunto).

Dado que los entramados completos son cpos se plantea la siguiente cuestión: ¿Son consistentes ambas definiciones? El requisito de que se conserven todos los supremos e infimos es más fuerte que el de que sólo se conserven los supremos de los conjuntos dirigidos. Por tanto, es posible que ambas definiciones sean diferentes. ¿O son equivalentes?

Answer 1

Para entender las distintas posibilidades de los mapas en la teoría del orden, lo mejor es ver estructuras en el sentido del álgebra, en lugar de propiedades de los mapas.

Según el álgebra, cuando se trata de conjuntos estructurados, la noción correspondiente de homomorfismo debe ser un mapa que preserve la estructura. Y entonces la teoría de categorías nos enseña que los morfismos son tan importantes como el objeto (de hecho, son más importantes).

Por ejemplo, puede parecer impar distinguir entre posets que tienen todos los supremos y posets que tienen todos los supremos e infimos. Al fin y al cabo, cualquier poset que tenga todos los supremos tiene también los infimos. Pero la diferencia es importante cuando se examinan las dos categorías:

1. $\mathbf{SupLat}$ Los objetos son posets con supremas arbitrarias (que no son más que entramados completos), los morfismos son mapas que preservan las supremas.
2. $\mathbf{SupInfLat}$ los objetos son posets con suprema e inifma arbitrarios (que de nuevo no son más que entramados completos), los morfismos son mapas que conservan suprema e infima.

Como ya se señaló en la respuesta de Zhen, hay mapas sobre retículos completos que preservan los supremos pero no los infimos, por lo que la distinción tiene sentido.

Usted pregunta por una definición clara de continuidad en los entramados completos. La continuidad tiene que ver con la topología, así que deberíamos buscar formas de topologizar los entramados completos, o más generalmente los posets, ya que entonces estará claro cuáles son los mapas continuos. Entre todas las posibilidades, probablemente sea deseable restringirse a aquellas que nos permitan recuperar el orden parcial a partir de la topología pasando a la orden de especialización . La topología más fuerte con esta propiedad es la Topología de Alexandrov para la que la continuidad coincide con la monotonicidad. Una elección muy razonable de la topología inducida por un orden parcial podría ser la Topología de Scott lo que lleva al concepto de Continuidad de Scott : para posets razonables un mapa es continuo de Scott cuando preserva el suprema dirigido. Puedes entretenerte averiguando si existe una topología para la que los mapas continuos son los que preservan los supremos y los infimos.

No puedo decirte qué topología es la adecuada para ti. Eso depende de lo que estés haciendo. Espero que al menos quede claro que la pregunta debe enmarcarse en el contexto del álgebra y la teoría de categorías (los morfismos preservan la estructura) y que la continuidad tiene que ver con la topología (por lo que debemos topologizar los órdenes parciales).

Answer 2

No son equivalentes ni siquiera para los entramados completos. Por ejemplo, consideremos el entramado (en realidad, marco) $\textrm{Ouv}(X)$ de conjuntos abiertos de un espacio topológico $X$ . Dado un mapa continuo $f : X \to Y$ tomando las imágenes inversas se obtiene un homomorfismo de red $f^{-1} : \textrm{Ouv}(Y) \to \textrm{Ouv}(X)$ y se garantiza la conservación de las uniones infinitas. Sin embargo, no es necesario que se preserven los encuentros infinitos: por ejemplo, considere el mapa de "identidad" $f : \mathbb{R}^\textrm{disc} \to \mathbb{R}$ , donde $\mathbb{R}^\textrm{disc}$ es $\mathbb{R}$ considerado como un espacio topológico discreto. Dado que $\mathbb{R}$ es Hausdorff, $\lbrace 0 \rbrace$ es la intersección de todas las vecindades abiertas de $0$ y, por tanto, el encuentro en $\textrm{Ouv}(\mathbb{R})$ de todos los barrios abiertos de $0$ es $\emptyset$ . Pero el encuentro en $\textrm{Ouv}(\mathbb{R}^\textrm{disc}) = \mathscr{P}(\mathbb{R})$ de todos los barrios abiertos de $0$ es $\lbrace 0 \rbrace$ Así que $f^{-1} : \textrm{Ouv}(\mathbb{R}) \to \textrm{Ouv}(\mathbb{R}^\textrm{disc})$ en efecto, no conserva los encuentros infinitos.