El campo de funciones del esquema proyectivo $\mathbb{P}^{r}_{k}$ .

Question

Dejemos que $r\in\mathbb{Z}_{> 0}$ , dejemos que $k$ sea un campo y $X=\mathbb{P}^{r}_{k}$ y $S=k[X_{0},...,X_{r}]$ .

Por definición tenemos que la función campo se define como $K(X)=\mathcal{O}_{X,\eta}$ donde $\eta$ es el único punto genérico de $X$ . Quiero demostrar que este campo de funciones puede identificarse con los elementos de grado cero del campo de fracciones de $S$ .

Obsérvese que podemos tomar un abierto afín arbitrario $U_{i}=\operatorname{Spec}(R_{i})$ donde $R_{i}=k[...,X_{ji},...]_{i=0,...,r, j\neq i}$ . Entonces el único punto genérico corresponde a $(0)\in \operatorname{Spec}(R_{i})$ y tenemos $K(X)=\mathcal{O}_{U_{i},(0)}$ . Obsérvese que la gavilla de estructura en $U_{i}$ viene dada por $\widetilde{(S_{X_{i}})_{0}}$ y así encontramos que $K(X)\cong ((S_{X_{i}})_{0})_{(0)} = \operatorname{Frac}((S_{X_{i}})_{0})$ .

A partir de aquí no sé cómo terminar la prueba.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Tal vez no tengas que trabajar en la pieza afín $D_+(X_i)$ .

Denota por $A = k[X_0,\dots,X_r]$ . El punto genérico de $\mathrm{Proj} A$ es exacto el ideal cero $0$ de $A$ .

Una forma de ver esto: La topología Zariski de $\mathrm{Proj} A$ coincide con la topología inducida de la topología de Zariski de $\mathrm{Spec} A$ . Por lo tanto, $\mathrm{Cls}_{\mathrm{Proj}A} 0 = \mathrm{Cls}_{\mathrm{Spec}A} 0 \cap \mathrm{Proj}A = V(0) \cap \mathrm{Proj}A = \mathrm{Spec}A \cap \mathrm{Proj}A = \mathrm{Proj}A$ donde $\mathrm{Cls}_{\mathrm{Proj}A}0$ significa tomar el cierre de $0$ en $\mathrm{Proj}A$ .

Dejemos que $\mathfrak{p} = 0$ . Así que, $K(\mathrm{ProjA}) = A_{(\mathfrak{p})}$ piezas de grado cero de la localización $A_\mathfrak{p} = k(X_0,\dots,X_r)$ .