Encuentra la suma : $\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin^{-1}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}}+\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{12}}+\cdots$

Question

Problema :

Encuentra la suma de :

$$\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin^{-1}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}}+\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{12}}+\cdots$$

Mi enfoque :

Aquí el $n$ está dado por :

$$t_n = \sin^{-1}\left[\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}\right]$$

A partir de ahora cómo proceder, por favor, sugiera gracias....

Answer 1

Esta no es una respuesta independiente, sino una respuesta a la especulación de Lord Soth sobre una prueba geométrica.

Consideremos dos triángulos rectos $ABC$ y $ABD$ con base $1$ y las alturas $\sqrt{n}$ y $\sqrt{n-1}$ . Sea $\theta$ sea el ángulo $\measuredangle CBD$ . El área del triángulo $BCD$ puede calcularse de dos maneras:

• $\frac12 |BC||BD| \sin\theta = \frac12 \sqrt{n+1} \sqrt{n} \sin\theta$
• $\frac12 |CD||AB| = \frac12 ( \sqrt{n} - \sqrt{n-1} )$

Igualarlas nos da:

$$\sin \theta = \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$$

Por otro lado,

$$\begin{align} \theta &= \measuredangle CBD = \measuredangle CBA - \measuredangle DBA\\ &= \sin^{-1}\frac{|AC|}{|BC|} - \sin^{-1}\frac{|AD|}{|BD|} = \sin^{-1}\sqrt{\frac{n}{n+1}} - \sin^{-1}\sqrt{\frac{n-1}{n}} \end{align}$$

Obtenemos

$$\sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}\right) = \sin^{-1}\sqrt{\frac{n}{n+1}} - \sin^{-1}\sqrt{\frac{n-1}{n}}$$

y hemos convertido la serie original en una serie telescópica. La suma parcial de la primera $n$ términos de la serie original se convierte en el ángulo $\measuredangle ABC$ . Cuando $n \to \infty$ la línea $BC$ se convierte en vertical y esto justifica geométricamente que el límite de la serie es $\frac{\pi}{2}$ .

Answer 2

Sugerencia: Utilice el hecho de que $\sin^{-1}a+\sin^{-1}b = \sin^{-1}(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2})$ . Los dos primeros términos le dan entonces $\sin^{-1}(\sqrt{2/3})$ . A continuación, aplicando la misma identidad con este término y el tercero se obtiene $\sin^{-1}(\sqrt{3/4})$ y...

Edit: El paso de inducción da algo de dolor de cabeza, así que déjame escribirlo para completarlo. Supongamos que la suma de la primera $n$ los términos son $a = \sin^{-1}\sqrt\frac{n}{n+1}$ . Demostramos que la suma de la primera $n+1$ los términos son $\sin^{-1}\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}$ . Sea $$b = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}$$ denotan el $(n+1)$ término. Entonces, basta con demostrar que $c = a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2} = \sqrt\frac{n+1}{n+2}$ . De hecho, tenemos \begin{align} c &= \sqrt\frac{n}{n+1}\sqrt{1-\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}{(n+1)(n+2)}}+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{(n+1)(n+2)}}\sqrt{1-\frac{n}{n+1}}\\ & = \sqrt\frac{n}{n+1}\sqrt{\frac{n^2+n+1+2\sqrt{n(n+1)}}{(n+1)(n+2)}}+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)\sqrt{(n+2)}} \end{align} Observando que el radical anidado $\sqrt{n^2+n+1+2\sqrt{n(n+1)}}$ es igual a $1+\sqrt{n(n+1)}$ obtenemos $$c = \sqrt n \frac{1+\sqrt{n(n+1)}}{(n+1)\sqrt{(n+2)}}+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} {(n+1)\sqrt{(n+2)}} = \sqrt\frac{n+1}{n+2}$$ .