Grupos con tres clases de conjugación que definen un ordenamiento

Question

Considere la siguiente propiedad para un grupo $(\mathcal{G},\cdot,1)$ :

Hay exactamente tres clases de conjugación $\{1\}$ , $\mathcal{C}_1$ , $\mathcal{C}_2$ en $\mathcal{G}$ y tenemos $\mathcal{C}_1 \mathcal{C}_1 \subseteq \mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2=\mathcal{C}^{-1}_1$ .

Obsérvese que los únicos grupos finitos con exactamente tres clases de conjugación son el grupo cíclico de orden $3$ y el grupo simétrico de orden $6$ . Estos no satisfacen la propiedad anterior. Así que cualquier grupo de este tipo debe ser infnito, por lo tanto también no abeliano.

De hecho, dado un grupo así $\mathcal{G}$ , defina $x<y$ si y sólo si $y \cdot x^{-1} \in \mathcal{C}_1$ . Esto define un orden lineal en $\mathcal{G}$ para el que es bi-ordenado, es decir, con $\forall x,y,z \in \mathcal{G},\ y>1 \Longleftrightarrow x \cdot y \cdot z> x \cdot z$ . Así que quizás sea mejor pensar en esos grupos como grupos linealmente bi-ordenados en los que dos elementos estrictamente positivos son conjugados.

Sospecho que no se conocen tantos grupos de este tipo. Así que mi pregunta es: ¿se conocen ejemplos de este tipo de grupos? ? O mejor aún: se han estudiado hasta cierto punto ?

También se podría esperar que estos grupos estén relacionados con la teoría de primer orden $T$ de grupos linealmente bi-ordenados no triviales con centro trivial. La pregunta sería: cualquier modelo algebraicamente cerrado de $T$ satisfacen la propiedad anterior ? De hecho, creo que László Fuchs demostró que en el caso de grupos parcialmente bi-ordenados, ordenados en celosía, los modelos algebraicamente cerrados tienen la propiedad de que dos elementos estrictamente positivos cualesquiera son conjugados. En ese caso, sin embargo, puede haber más clases de conjugación que tres, porque no todos los elementos deben ser positivos o negativos.

Answer 1

Actualmente no se conocen ejemplos de grupos bi-ordenables en los que todos los elementos positivos sean conjugados. La cuestión de su existencia aparece como problema 3.31 de la lista de problemas de 2009 Problemas no resueltos en grupos ordenados y Grupos ordenados y ordenables compilado por Bludov, Glass, Kopytov y Medvedev. Al parecer, también figura en el Libro de Problemas del Pantano Negro.

Por otra parte, se sabe que todo grupo ordenado en celosía puede incrustarse en uno con exactamente cuatro clases de conjugación, y que todo grupo ordenado derecho puede incrustarse en uno en el que todos los elementos no triviales son conjugados: véase V. V. Bludov y A. M. W. Glass, Conjugación en grupos ordenados en celosía y grupos ordenados por la derecha (2008).

Answer 2

He propuesto una solución positiva a este problema en un preimpresión titulado Campos cerrados hiperexponencialmente que se encuentra aquí con mayor precisión en las secciones 10.1 y 10.2.

La solución se basa en trabajos de G. Edgar y J. Écalle, en los que se utilizan propiedades formales de series de potencias generalizadas (por ejemplo, transseries) para seguir la pista de cómo conjugar elementos $\varphi$ en $\varphi f = g \varphi$ se comportan como funciones $h \mapsto \varphi h$ a grandes rasgos.