Series con números de Bernoulli

Question

Necesito encontrar la suma exacta de esta serie que involucra los números de Bernoulli:

$$\sum_{k=1}^\infty {{B_{2k}(k-1)!\over (2k)!}}$$

Converge muy rápido, pero como no conozco este tipo de problemas, no tengo muchas ideas sobre qué hacer.

Answer 1

Desde entonces: $$ \sum_{k\geq 0}\frac{B_k}{k!}z^k=\frac{z}{e^z-1}\tag{1}$$ que tenemos: $$ \sum_{k\geq 0}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\,z^{2k} = \frac{z}{2}\,\coth\left(\frac{z}{2}\right)\tag{2}$$ Por lo tanto, al explotar $\int_{0}^{+\infty}z^{2k-1}e^{-z^2}\,dz = \frac{1}{2}(k-1)!$ que tenemos: $$ \sum_{k\geq 1}\frac{(k-1)!}{(2k)!}\,B_{2k}=\int_{0}^{+\infty}e^{-z^2}\left(\coth\frac{z}{2}-\frac{2}{z}\right)\,dz=0.082006\ldots\tag{3}$$

Answer 2

Se puede partir de la definición de los números de Bernoulli utilizando la función generadora $t/(e^t-1)$ . Tenemos

$$ \dfrac{(t-2)\; e^t +t+2}{2 (e^t-1)} = -1 + \dfrac{t}{2} + \dfrac{t}{e^t-1} = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{B_{2k}}{(2k)!} t^{2k} $$ Ahora multiplique por $2 e^{-t^2}/t$ e integrar desde $0$ a $\infty$ (ya que $\int_0^\infty t^{2k-1} e^{-t^2}\; dt = (k-1)!/2$ ). Su suma se expresa como una integral:

$$ \int_0^\infty \dfrac{(t-2)\; e^t +t+2}{ t\; (e^t-1)} e^{-t^2}\; dt $$

Desgraciadamente no sé si la integral se puede hacer de forma cerrada.

El valor numérico es aproximadamente $0.082006067535004$ . El Calculadora simbólica inversa y la función "identificar" de Maple no produjo ningún resultado.

¿Tiene alguna razón para creer que existe una forma cerrada para esto?