Ecuación no lineal de singularidad ODEs

Question

He de demostrar que las soluciones a la EDO:

$x'(t) = -\frac{1}{2} \left(x(t)^2 - 3 c \right)$ ,

no son únicas. No sé por qué esto es problemático, ya que, la EDO tiene claramente una solución que parece funcionar para todos $t$ :

$x(t) = \sqrt{3} \sqrt{c} \tanh \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{3} \sqrt{c} t+2 \sqrt{3} \sqrt{c} c_1\right)\right)$ ,

donde $c_1$ es una constante. Pero, ¡mi profesor insiste en que esta no es una solución única!

Answer 1

Creo que la forma de hacerlo es utilizar un resultado del libro clásico de Arnold sobre las EDOs, que dice que una condición suficiente para la unicidad de una EDO de primer orden $x'(t) = v(x)$ con datos iniciales $(x_0, t_0)$ es que la integral

$\int_{x_{0}}^{x} \frac{d\xi}{v(\xi)}$ se separa en $x_{0}$ .

Por lo tanto, consideremos el PIV relacionado con su problema:

$x'(t) = -\frac{1}{2}(x(t)^2 - 3c), \quad x(0) = x_{0}$ .

Evaluando la integral anterior, encontramos que es igual a:

$\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3} \sqrt{c}}\right)}{\sqrt{3} \sqrt{c}}-\frac{2 \tanh ^{-1}\left(\frac{x_{0}}{\sqrt{3} \sqrt{c}}\right)}{\sqrt{3} \sqrt{c}}$

Vemos que la integral anterior diverge para cuando

$\frac{x_{0}}{\sqrt{3 c}} = \pm 1$ .

Por lo tanto, SÓLO para la condición inicial de $x_{0} = \pm \sqrt{3 c}$ tiene una solución única, o cuando $c = 0$ (donde la integral diverge), y por tanto, una solución única.

En todos los demás casos, la integral converge y la unicidad falla.

Espero que eso ayude.

Answer 2

Su solución no es única debido a la constante $c_1$ . En realidad has escrito infinitas soluciones diferentes, ya que tienes una solución diferente para cada valor posible de $c_1$ .