Resolución de la ecuación de Lyapunov para sistemas lineales

Question

En el capítulo "Estabilidad de Lyapunov" del texto de Khalil, hay un ejemplo sobre cómo resolver una ecuación de Lyapunov. Aquí la ecuación $(3.12)$ es $PA+A^TP=-Q$ .

¿Cómo es la $3\times 3$ matriz en el lado izquierdo de la primera ecuación matricial formada?

Answer 1

Si se escribe la ecuación $PA+A^TP=-Q$ en coordenadas obtendrá $$ \begin{bmatrix}p_1 & p_2\\p_2 & p_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1\\-1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_1 & p_2\\p_2 & p_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{2p_2} & \color{green}{-p_1-p_2+p_3}\\-p_1-p_2+p_3 & \color{blue}{-2p_2-2p_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{-1} & \color{green}{0}\\0 & \color{blue}{-1}\end{bmatrix} $$ que equivale al sistema $$ \begin{cases} \color{red}{2p_2}&=\color{red}{-1},\\ \color{green}{-p_1-p_2+p_3}&=\ \ \ \color{green}{0},\\ \color{blue}{-2p_2-2p_3}&=\color{blue}{-1}. \end{cases} $$ El $3\times 3$ es exactamente la matriz del sistema.