Ecuación diferencial con solución de $(1+ax/2)\exp(-ax)$

Question

¿Existe alguna ecuación diferencial lineal que tenga la siguiente solución

$$y=(1+ax/2)\exp(-ax)$$ $a$ es constante.

Answer 1

Para todas las funciones diferenciables $y=f(x)$ , siempre se puede obtener una oda lineal tomando la derivada en ambos lados. Digamos, $f(x)=(1+ax/2)\exp{(-ax)}$ tiene inmediatamente ode $$y'(x)=f'(x)=-a(1+ax)\exp{(-ax)}/2$$

Answer 2

He aquí una aproximación. Dejemos que

$$ y = (1+a\,x/2)e^{-ax} \longrightarrow (*) $$

Diferenciación con respecto a la $x$ ambos lados tenemos

$$ y'= -a(1+ax/2)e^{-ax}+\frac{a}{2}e^{-ax} $$

Utilizando $(*)$ obtenemos

$$ y'=-y+\frac{a}{2}\frac{y}{(1+ax/2)} $$

$$ \implies y' = \left(\frac{a}{2}\frac{1}{(1+ax/2)}-1\right)y,\quad y(0)=1. $$

Añadido: Ya introduje una técnica para la pregunta que planteas en mi anterior trabajo. Véase, por ejemplo sección 6, lema 1 o ver mi libro . Otro enfoque es el técnicas de aniquilación .

Answer 3

Sugerencia: si quiere un coeficiente constante ecuación diferencial lineal homogénea, querrá que el polinomio característico tenga una raíz doble en $-a$ .

Answer 4

Dejemos que $y = (1 + ax/2)e^{-ax}$ y $D = d/dx$ . Tenga en cuenta que, $$ 2ay = 2ae^{-ax} + a^2xe^{-ax} $$ $$ 2Dy = 2D\biggl(e^{-ax} + \dfrac{axe^{-ax}}{2}\biggr) = -2ae^{-ax} + ae^{-ax} -a^2xe^{-ax} = ae^{-ax} - 2ay \quad \Rightarrow $$ $$ 2D^2y = D(2Dy) = -a^2e^{-ax} - 2aDy = -a(ae^{-ax}) - 2aDy \quad \Rightarrow $$ $$ 2D^2y + 2aDy = -a(2Dy + 2ay) \quad \Rightarrow \quad (D^2 + 2aD + a^2)y = 0 \quad \Rightarrow \quad (D + a)^2y = 0 $$ o $$ y^{\prime \prime} + 2ay^{\prime} + a^2y = 0 $$ Solución general: $y = C_1e^{-ax} + C_2xe^{-ax}$