Encontrar ecuaciones paramétricas dado un punto, ortogonal a otro vector, y contenido en un plano

Question

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta con las siguientes propiedades. La recta pasa por el origen, está contenida en el plano $x-2y+z=0$ y es ortogonal al vector $v = \langle3,4,2\rangle$ .

Sé que el vector es ortogonal a $v$ cuando el producto punto del vector que busco y $v$ es igual a $0$ . Pero, ¿cómo puedo asegurarme de que dicho vector también cumple los demás requisitos?

Answer 1

Las ecuaciones paramétricas serán de la forma

$$x=0+at $$ $$y=0+bt $$ $$z=0+ct$$ con

$$3a+4b+2c=0$$ y $$at-2bt+ct=0$$

así

$$a=2b-c $$ y

$$6b-3c+4b+2c=0$$ que da $$c=10b $$ y $$a=-8b $$ finalmente, obtenemos

$$x=-8t $$ $$y=t $$ $$z=10t $$

Answer 2

Ya que la línea, a la que llamaré $\mathbf l$ está contenido en el plano $P$ ,

$\mathbf l \subset P = \{(x, y, z) \in \Bbb R^3 \mid x - 2y + z = 0 \}, \tag 1$

es ortogonal al vector

$\mathbf n = (1, -2, 1), \tag 2$

que a su vez es normal para $P$ En efecto, es evidente que los "vectores", es decir, los puntos $(x, y, z)$ de $P$ satisfacer

$\mathbf n \cdot (x, y, z) = (1, -2, 1) \cdot (x, y, z) = x - 2y + z = 0; \tag 3$

por lo tanto, ya que cualquier vector tangente $\mathbf t \ne 0$ a $\mathbf l$ también puede considerarse como un vector o punto en $P$ ,

$\mathbf t \cdot \mathbf n = 0. \tag 4$

También se nos da que el vector $\mathbf v = (3, 4, 2)$ es normal que $\mathbf l$ y, por tanto, a $\mathbf t$ :

$\mathbf t \cdot \mathbf v = 0; \tag 5$

observamos que $\mathbf n$ y $\mathbf v$ son no co-lineal; es decir, no existe $c \in \Bbb R$ tal que

$\mathbf v = c \mathbf n; \tag 6$

esto equivale a la independencia lineal de $\mathbf v$ y $\mathbf n$ como es bien sabido; por tanto, el vector $\mathbf v \times \mathbf n \ne 0$ y como

$\mathbf v \cdot \mathbf v \times \mathbf n = \mathbf n \cdot \mathbf v \times \mathbf n = 0, \tag 7$

podemos tomar

$\mathbf t = \mathbf v \times \mathbf n = (3, 4, 2) \times (1, -2, 1) = (8, -1, -10); \tag 8$

vemos entonces que podemos escribir $\mathbf l$ en la forma parametrizada

$\mathbf l(s) = s \mathbf t + \mathbf l(0); \tag 9$

para garantizar $\mathbf l(s)$ pasa a través de $\mathbf 0 = (0, 0, 0)$ debe haber algún $s_0$ con

$\mathbf l(s_0) = s_0 \mathbf t + \mathbf l(0) = \mathbf 0; \tag{10}$

podemos tomar $s_0 = 0$ y $\mathbf l(0) = \mathbf 0$ Entonces

$\mathbf l(s) = s \mathbf t \tag{11}$

satisface todos los criterios requeridos, como se desprende de lo anterior; de hecho

$\mathbf l(s) \cdot \mathbf v = s \mathbf t \cdot\mathbf v = 0, \tag{12}$

$\mathbf l(s) \cdot \mathbf n = s \mathbf t \cdot \mathbf n = 0, \tag{13}$

y

$\mathbf l(0) = \mathbf 0. \tag{14}$