Casco convexo de un conjunto de puntos dentro de un semiespacio

Question

Nos situamos en $\Bbb{R}^d$ , para $d\geq 1$ . Dejemos que $\mathcal{h}$ un hiperplano, y que $S$ sea un conjunto finito de puntos que se encuentran todos en uno de los semiespacios (cerrados) limitados por $h$ .

Dejemos que $C$ denotan la transformación que a un conjunto le asigna su casco convexo.

Demostrar que $C(S)\cap h=C(S\cap h )$ .

Answer 1

Como $S \cap h \subseteq h$ tenemos $C(S \cap h) \subseteq C(h)$ como $h$ es convexo. Y obviamente $C(S \cap h) \subseteq C(S)$ . Por lo tanto, $C(S \cap h) \subseteq C(S) \cap h$ .

En cuanto a la inclusión inversa. Como $S$ está incluido en un medio espacio que tiene $h$ para el límite, un punto $x$ pertenece a $C(S) \cap h$ sólo si es una combinación convexa de puntos de $S$ . Si no es así, se coordina sobre una línea no incluida en $h$ no se desvanece en contradicción con $x \in h$ . Por lo tanto, $x$ es una combinación convexa de puntos de $S \cap h$ lo que significa que $x \in C(S \cap h)$ .