¿Una binoide contiene una palabra vacía?

Question

$A$ es un alfabeto finito. $A^*$ es el conjunto de palabras finitas o el monoide libre generado por A.

$A^w$ es el conjunto de palabras infinitas generadas por A. Denotemos $A^\infty=A^*\bigcup A^w$ .

$X$ es un conjunto de $A^\infty$ . Denote $X_{*}=X\bigcap A^*$ , $X_w=X\bigcap A^w$ .

Un binoide sobre $A$ es un subconjunto $M$ de $A^\infty$ tal que $$M_* M\subseteq M,\quad (M_*)^w\subseteq M.$$ El producto de dos elementos es simplemente usar la concatenación para juntarlos.

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La notación y la definición anteriores se citan de la Combinatoria Algebraica sobre las Palabras (2002), que está escrita por M.Lothaire.

Parece que si M es un binoide, $M_*$ debe ser un subsemigrupo de $A^*$ . Pero el libro también menciona que tales $M_*$ también es un submonoide de $A^*$ .

Mi pregunta es cómo asegurar que la palabra vacía o la llamada unidad pertenece a $M_*$ , de tal manera que $M_*$ no sólo es un subsemigrupo, sino también un submonoide de $A^*$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Lothaire continúa definiendo, para $X\subseteq A^\infty$ , $X^\infty\triangleq X_*^\infty\cup(X_*)^*X_\omega=X_*\,^*\cup X_*\,^\omega\cup(X_*)^*X_\omega$ y decir que $M\subseteq A^\infty$ es un binoide si $M^\infty=M$ . Claramente $\varepsilon\in X_*\,^*\subseteq X^\infty$ para todos $X\subseteq A^\infty$ Así que realmente espera que un binoide contenga $\varepsilon$ (la palabra vacía).

Con la misma claridad, $M^\infty=M$ no se deduce de $M_*M\subseteq M$ y $(M_*)^\omega\subseteq M$ : dejar $M=\{a^\omega\}$ para algunos $a\in A$ y observe que $M_*=\varnothing$ De ahí que $M_*M=(M_*)^\omega=\varnothing\subseteq M$ . De hecho, cualquier no vacío $M\subseteq A^\omega$ funcionaría por la misma razón, y el ejemplo de Arturo, $M=A^+\cup A^\omega$ También funciona: $M_*M=A^+(A^+\cup A^\omega)=AA^+\cup A^\omega$ y $(M_*)^\omega=(A^+)^\omega=A^\omega$ son claramente subconjuntos de $M$ .

Me parece que la forma más sencilla de salvar la definición es exigir que $M_*M=M$ y $(M_*)^\omega\subseteq M$ , obligando así a $\varepsilon$ para pertenecer a $M_*$ El requisito más débil del libro puede ser simplemente una errata.