Comprender un producto inducido en $\pi(G)$ Distinto del producto habitual en $\pi(G)$

Question

Hipótesis: Dejemos que $G$ sea un grupo topológico. Sea $\mu$ denotan el mapeo de multiplicación de grupos en $G \times G$ a $G$ que se estipula que es continua. Sea $\pi_1(G,e) = \pi(G)$ denotan el grupo fundamental de $G$ .

Pregunta: He leído en otra parte que hay un producto $*$ inducido por

$$ * : \pi(G) \times \pi(G) \cong \pi(G \times G) \overset{\pi(\mu)}{\rightarrow} \pi(G) $$

Estoy confundido por lo que se quiere decir exactamente aquí. Este producto es distinto del producto de grupo habitual $\circ$ en $\pi(G)$ . En todo caso, lo que se entiende por $\pi(\mu)$ ?

Answer 1

El mapa $\mu\colon G\times G\to G$ es un mapa continuo. El mapa $\pi(\mu)\colon \pi(G)\times \pi(G)\to \pi(G)$ es el homomorfismo de grupo inducido sobre grupos fundamentales.

Por ejemplo, si $G=S^1$ con la multiplicación compleja como operación de grupo $\mu\colon S^1\times S^1\to S^1$ entonces $\pi(S^1)=\mathbb{Z}$ y $\pi(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ . El mapa inducido $\pi(\mu)\colon \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ mapas $(u,v)$ a $u+v$ .