¿Por qué es $\log(f(z))$ todo si $f(z)\ne0$ y $f$ ¿está completo?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ sea una función entera. ¿Por qué es $\log(f(z))$ ¿entero?

No entiendo la respuesta porque si tenemos registro con cualquier rama $B=\{Re^{i\theta}:R\geq0\}$ (y supongamos que elegimos, por ejemplo, la rama principal, $\theta=0$ ), entonces puede ser que $f(z_0)\in B$ para algunos $z_0\ne0$ y luego $\log(f(z_0))$ no está definido.

Answer 1

Hay una cierta sutileza respecto a lo que $\log(f(z))$ significa. No es cierto que para cualquier no evanescente $f$ existe una rama del logaritmo para la que $\log(f(z))$ está definida en todas partes (de hecho, por ejemplo, para $f(z)=e^z$ que está en $\mathbb C\setminus\{0\}$ Eso implicaría la existencia de una rama del logaritmo definida en todas partes aparte de cero, lo que probablemente sabes que es imposible.

Qué es y lo que esta afirmación significa implícitamente, es que para un $f$ existe una función $g(z)$ que podemos denotar por $\log(f(z))$ , de tal manera que $e^{g(z)}=f(z)$ .

Answer 2

Tienes buenas razones para encontrar la pregunta poco clara. Sin embargo, he aquí otra forma de plantearla:

Dejemos que $f\colon\mathbb C\longrightarrow\mathbb C\setminus\{0\}$ sea una función entera. ¿Por qué hay una función completa $g\colon\mathbb C\longrightarrow\mathbb C$ tal que $$(\forall z\in\mathbb C):e^{g(z)}=f(z)?$$

Sólo hay que tomar una primitiva $h$ de $\frac{f'}f$ . No es difícil demostrar que $\frac{e^h}f$ es constante. Por lo tanto, hay un $k\in\mathbb C$ tal que $(\forall z\in\mathbb C):\frac{e^{h(z)}}{f(z)}=e^k$ y por lo tanto $(\forall z\in\mathbb C):f(z)=e^{h(z)-k}$ .