Encuentre el intervalo de $a^2+b^2+c^2$

Question

Dado que el sistema de ecuaciones $x=cy+bz,y=az+cx,z=bx+ay$ tiene soluciones distintas de cero y al menos una de a,b,c es una fracción propia, entonces encuentra el intervalo en el que el valor de $a^2+b^2+c^2$ mentiras( $a,b,c\in R$ ).

MI ENFOQUE:

He aplicado la regla de Cramer y he obtenido la ecuación como $a^2+b^2+c^2=1-2abc$ . Ahora, ¿cómo puedo encontrar el rango de $a^2+b^2+c^2?$

Answer 1

Como una de las variables es una fracción propia, pongamos, sin pérdida de generalidad, $c = n/m$ donde $0 < n < m$ y $n,m\in \mathbb{N}$ . Entonces tenemos

$$a^2 + \dfrac{2n}{m}ab + \dfrac{n^2}{m^2} + b^2 - 1= 0.$$

Resolver para $a$ obtenemos

$$a = \dfrac{-\dfrac{2n}{m}b \pm \sqrt{\dfrac{4n^2}{m^2}b^2 - \dfrac{4n^2}{m^2} - 4b^2 + 4}}{2} = -\dfrac{n}{m}b \pm \sqrt{(1-b^2)\left(1 - \dfrac{n^2}{m^2}\right)}.$$

Entonces $-1 \leq b \leq 1$ . De la misma manera, $-1\leq a \leq 1$ que impondría un límite superior estricto de $a^2 + b^2 + c^2$ de $3$ .

En efecto, tomar $m = n+1$ y haciendo $n$ arbitrariamente grande podemos considerar la solución

$$a = 1,\qquad b = -\dfrac{n}{n+1}, \qquad c = \dfrac{n}{n+1}$$

y

$$a^2 + b^2 + c^2 = 1 + 2\dfrac{n^2}{(n+1)^2},$$

que puede estar tan cerca de $3$ como uno desea.

Answer 2

Dejemos que $a=b=c=\frac{1}{2}$ .

Por lo tanto, $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{4}$ .

Demostraremos que $\frac{3}{4}$ es un valor mínimo.

En efecto, dejemos que $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{4}x^2$ , donde $x\geq0$ .

Así, por AM-GM $$1=a^2+b^2+c^2+2abc\leq\frac{3}{4}x^2+2|abc|\leq$$ $$\leq\frac{3}{4}x^2+2\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\right)^3=\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{4}x^3,$$ que da $x\geq1$ ¡y hemos terminado!