$a^2\phi=2$ ¿Cuál es el valor de $2a(\phi+1)$ ?

Question

He reducido el problema a esto:

Tenemos $a^2\phi=2$ donde $a>0$ cuál es el valor de $2a(\phi+1)$ ?

$1)2\sqrt{2\sqrt5+4}\qquad\qquad2)2\sqrt{\sqrt5+4}\qquad\qquad3)2\sqrt{2\sqrt5+1}\qquad\qquad4)2\sqrt{\sqrt5+1}$

Dónde $\phi$ es la proporción áurea ( $\frac{1+\sqrt5}2)$ .

Este es un problema de un examen cronometrado, así que debería resolverlo rápidamente. Aquí he utilizado $\phi^2=\phi+1$ varias veces para obtener la respuesta:

$$2a(\phi+1)=2a\phi^2=\sqrt{4a^2\phi^4}=\sqrt{8\phi^3}=\sqrt{8\phi(\phi+1)}=\sqrt{8(2\phi+1)}=2\sqrt{2(\sqrt5+2)}$$ Aunque el método que he utilizado es rápido, ¿existen otros enfoques para obtener la respuesta (preferiblemente) más rápido?

Answer 1

Creo que la forma en que abordaste el problema ya es bastante directa y probablemente tan "rápida" como se podría esperar para resolver el problema "en frío" en un examen cronometrado.

Esta es otra forma de enfocar el cálculo que evita tratar con la raíz cuadrada hasta que se necesite para hacer la elección de la respuesta. Como se puede observar, la relación esencial de la razón áurea es $ \ \phi^2 \ = \ \phi + 1 \ \ . $ Deseamos "evaluar" $ \ 2a · (\phi + 1) \ = \ 2a · \phi^2 \ \ ; $ cuadremos esto por ahora y trabajemos con $ \ 4a^2 · \phi^4 \ \ . $ A partir de la "definición" dada para $ \ a \ \ , $ esto es igual a $ \ 4 · \left(\frac{2}{\phi} \right) · \phi^4 \ = \ 8 · \phi^3 \ \ ; $ para esto necesitaremos obtener una raíz cuadrada (como habías encontrado).

Desde el $ \ (m + n\sqrt5) \ $ La suma ocurre en todas las opciones de respuesta de alguna manera, nos gustaría expresar nuestro resultado en esos términos. Podemos escribir $ \ \psi \ = \ 1 + \sqrt5 \ \ , $ haciendo $ \ \phi \ = \ \frac{\psi}{2} \ $ y $ \ 8 · \phi^3 \ = \ 8 · \left(\frac{\psi}{2} \right)^3 \ = \ \psi^3 \ \ . $ Es razonablemente sencillo calcular $$ (1 \ + \ \sqrt5)^3 \ \ = \ \ 1^3 \ + \ 3·1^2 · \sqrt5 \ + \ 3 · 1 · (\sqrt5)^2 \ + \ (\sqrt5)^3 \ \ = \ \ 1 \ + \ 3\sqrt5 \ + \ 15 \ + \ 5\sqrt5 $$ $$ = \ \ 16 \ + \ 8\sqrt5 \ \ . $$ Por lo tanto, $ \ 2a · (\phi + 1) \ = \ \sqrt{\psi^3} \ = \ \sqrt{16 \ + \ 8\sqrt5} \ = \ 2 · \sqrt{4 \ + \ 2\sqrt5} \ \ , $ que es la elección $ \ \mathbf{(1)} \ \ . $

Esto hace que la aritmética irracional sea un poco más rápida, pero no podría decir que este argumento se le ocurra a mucha gente en "condiciones de prueba".

Answer 2

Sólo hay que resolver para $a$ y conéctalo.

Suponiendo que $a\ge 0$ tenemos

$a^2 \phi = 2$

$a^2 = \frac 2 {\phi}$

$a= \sqrt{\frac 2\phi } = \frac {\sqrt 2}{\sqrt \phi}$ .

Así que

$2a(\phi +1)= 2\frac {\sqrt 2}{\sqrt \phi} (\phi+1)=2\sqrt 2(\sqrt \phi + \frac 1{\sqrt \phi})=....$

Bien aquí podemos usar $\phi^2 = \phi + 1$ .

$2\sqrt 2\frac {\phi+1}{\sqrt \phi}= 2\sqrt 2\frac {\phi^2}{\phi^{\frac 12}}= 2\sqrt 2\phi^{\frac 32}=2\sqrt 2\phi \sqrt \phi=$

y dadas las opciones

$2\sqrt{2\phi^2 \phi} = 2\sqrt{2(\phi+1)\phi}=2\sqrt {2\phi^2 + 2\phi}=$

$2\sqrt{2(\phi + 1) + 2\phi}=2\sqrt {4\phi + 2}=2\sqrt{2(1+\sqrt 5) + 2}=$

$2\sqrt{2\sqrt 5 + 4}$ .

.....

Supongo que no fue tan rápido. Pero fue más dirigido.

Me pregunto si podemos poner $\phi^2 = \phi + 1$ si podemos encontrar una expresión similar para $\sqrt \phi$ ....

$\sqrt \phi = \sqrt{\phi^2 - 1} = \sqrt{(\phi -1)(\phi + 1)}=$

$\sqrt{\frac {(\sqrt 5-1)(\sqrt 5+3)}4}$ ...

Sí... eso podría hacerlo

$2a(\phi + 1) = 2\frac {\sqrt 2}{\sqrt{\frac {(\sqrt 5-1)(\sqrt 5+3)}4}}= 2\frac {2\sqrt 2}{\sqrt{(\sqrt 5-1)(\sqrt 5+3)} }=...$

Eso te llevará allí, pero yo diría que fue más fácil ....