¿Existe una realización geométrica del grupo Quaternion?

Question

¿Existe una realización geométrica del grupo Quaternion:

$$Q = \langle i,j,k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \rangle$$

No creo que se pueda realizar como las simetrías/rotaciones de una forma 3D, así que ¿podríamos realizarlo como una especie de rompecabezas retorcido o algo así?

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Sólo porque era tan difícil, permítanme añadir cómo mostrar Q finita: comenzando con $i^2=j^2=k^2=ijk$ obtenemos $i=jk$ y $k=ij$ cancelando, lo que da como resultado $i=jij$ cuadrando $j^2=i^2=jij^2ij=ji^4j$ así que $1=i^4$ .

Answer 1

Consideremos las simetrías de un conjunto de tres copias de $[-1,1]$ posicionados ortogonalmente entre sí, todos intersectados en el elemento 0. (Esto es algo así como el análogo tridimensional de la cruz que has mencionado.) Identifica los rayos positivos en cada uno de estos ejes con $i$ $j$ y $k$ como se suele hacer en el álgebra vectorial, y las contrapartidas negativas con $-i$ , $-j$ y $-k$ como siempre.

Cada miembro del grupo de cuaterniones es una simetría de esta forma cuando actúa por conjugación. Conjugando por $i$ produce una media vuelta de la forma alrededor del $i$ y afirmaciones análogas son válidas para el eje $j$ y $k$ ejes.

Estos no son todo simetrías de la forma, porque no hay manera de conseguir un cuarto de vuelta. Por lo tanto, tenemos que alterar la forma de la cruz pintando los ejes de tres colores diferentes. Eso evitaría que los cuartos de vuelta se contaran como simetrías.

Sin embargo, existe un obstáculo bien conocido, y es que cada rotación está representada por dos cuaterniones en esta acción de conjugación. La cuestión es que la conjugación por $i$ y conjugando por $-i$ produce la misma simetría, y por supuesto, lo mismo puede decirse de otros elementos...)

Uno tiene la sensación de que tenemos que pagar un precio por pintar nuestras hachas :)

Editar: Pensando en ello, creo que esto debe ser superable de la misma manera que se pueden visualizar los cuaterniones que representan todas las simetrías de la esfera en el espacio 3. Esto es sólo un subcaso discreto.

Estoy tentado de hacer una analogía con el caso completo utilizando dos cruces de este tipo con algunos de los extremos identificados, pero me pregunto si hay una configuración más sencilla considerando la cruz con un rayo. La acción modificada sería que los elementos del grupo de cuaterniones se distinguen de sus homólogos negativos por su acción sobre el rayo. Si el elemento tiene un signo negativo delante, invierte el rayo de apuntar hacia arriba a apuntar hacia abajo. Si no tiene un signo negativo delante, el rayo sigue apuntando hacia arriba.

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Añadido: El rayo no es tan atractivo como tener dos cruces, pero creo que es más fácil de visualizar. Si quisiera describir la imagen de las dos cruces, primero empezaría con un análogo en 2D.

Toma dos cruces con dos ejes, donde cada par tiene un eje rojo y un eje azul. Ahora los colocas espalda con espalda para que los colores estén alineados. Si el elemento del grupo fuera de tipo "negativo", entonces girarías la cruz de abajo una media vuelta, y si es de tipo positivo, girarías la cruz de arriba una media vuelta. Esto es difícil de imaginar para dos cruces tridimensionales, pero creo que es una solución válida para la infidelidad de la representación de la cruz.

¡Esto está en la línea de un rompecabezas retorcido que usted mencionó! Sin embargo, los rompecabezas retorcidos para dimensiones superiores a 3 son difíciles de visualizar...

Answer 2

Aplicando el teorema de Cayley podemos representar $Q_8$ como un grupo de permutaciones en $8$ símbolos:

$$\begin{array}{|ccc|} \hline 1 & i & j \\ \hline -1 & -i & -j \\ \hline i & -1 & -k \\ \hline j & k & -1 \\ \hline k & -j & i \\ \hline -i & 1 & k \\ \hline -j & -k & 1 \\ \hline -k & j & -i \\ \hline \end{array}$$

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Entonces el grupo está generado por

$$i = (1\;i\;\bar 1\;\bar i)(j\;k\;\bar j\;\bar k)$$

y

$$j = (1\;j\;\bar 1\;\bar j)(i\; \bar k\;\bar i\;k),$$

para completar

$$k = (1\;k\;\bar 1\;\bar k)(i\;j\;\bar i\;\bar j)$$

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Por lo tanto, aquí hay un etiquetado de los vértices de un cubo y la acción de $\color{red}i,\color{green}j,\color{blue}k$ en él:

El problema es que no podemos torcerlos sin hacer que los vértices pasen unos por otros.

Answer 3

Piensa en una realización geométrica del grupo diédrico $D_4$ como las simetrías de un cuadrado. Puedes ver estas simetrías y así $D_4$ como un conjunto de rotaciones que preservan la orientación de $\mathbb{R}^3$ . Esto dice que debes pensar en $D_4\subset SO(3)$ como un subgrupo finito. Ahora los cuaterniones unitarios, es decir, $S^3$ es la doble cobertura (universal) de $SO(3)$ . Dejemos que $\pi: S^3\rightarrow SO(3)$ sea el mapa de proyección. El grupo que le interesa es $Q_8 = \pi^{-1}(D_4)$ . Combine su comprensión geométrica de $D_4$ con su comprensión geométrica de $\pi$ para obtener la interpretación que buscas.